Learning Notes.
返回上级
课程笔记

4.2换元积分法

5 分钟阅读

阅读入口

两类换元

不定积分的基本公式只覆盖少数形式。以下用 ∫f(x) dx\int f(x)\,\mathrm{d}x 表示 ff 的全体原函数，CC 为任意常数；基本积分表见基本积分公式。换元积分法（也称变量代换法）是求不定积分的主要方法之一，它通过引入新的积分变量，把复杂的被积表达式化成基本积分表中的形式。两种换元的方向不同，依据都是复合函数求导的链式法则。

第一类换元法

设 F′(u)=f(u)F'(u)=f(u)，且 u=φ(x)u=\varphi(x) 在讨论的区间上可导。则

∫f(φ(x))φ′(x) dx=F(φ(x))+C.\int f(\varphi(x))\varphi'(x)\,\mathrm{d}x=F(\varphi(x))+C.

这里要求 ff 在 φ\varphi 的取值范围内有原函数。公式的关键是把 φ′(x) dx\varphi'(x)\,\mathrm{d}x 认成 dφ(x)\mathrm{d}\varphi(x)，再对 u=φ(x)u=\varphi(x) 使用基本积分表。

证明

由链式法则，

ddxF(φ(x))=F′(φ(x))φ′(x)=f(φ(x))φ′(x).\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F(\varphi(x)) =F'(\varphi(x))\varphi'(x) =f(\varphi(x))\varphi'(x).

所以 F(φ(x))F(\varphi(x)) 是 f(φ(x))φ′(x)f(\varphi(x))\varphi'(x) 的一个原函数，右端加上任意常数即得全体原函数。

第二类换元法

设 x=ψ(t)x=\psi(t) 在区间上单调、可导，且 ψ′(t)≠0\psi'(t)\ne 0。则

∫f(x) dx=∫f(ψ(t))ψ′(t) dt.\int f(x)\,\mathrm{d}x=\int f(\psi(t))\psi'(t)\,\mathrm{d}t.

右端求出关于 tt 的原函数 G(t)+CG(t)+C 后，必须用反函数代回：由 x=ψ(t)x=\psi(t) 解出 t=ψ−1(x)t=\psi^{-1}(x)，得到

∫f(x) dx=G(ψ−1(x))+C.\int f(x)\,\mathrm{d}x=G(\psi^{-1}(x))+C.

单调性保证反函数存在，ψ′(t)≠0\psi'(t)\ne 0 使反函数在对应点可导。答案不能留在 tt 上。

来源：换元积分法

两类的依据都是链式法则，区别只在换元方向；“重点与易错点”里第二类换元的漏乘与回代，都针对这个分工。

第二类换元与三角代换

第二类换元法主动设置 x=ψ(t)x=\psi(t)，把难积的 xx 表达式换成较简单的 tt 表达式。它主要用于消除根式，或把三角函数有理式化为有理函数。求出关于 tt 的原函数后，必须回代成 xx。

  1. 选择代换

    根据根式或三角函数的形式确定 x=ψ(t)x=\psi(t)，并取使根式化简后符号确定的 tt 范围。

  2. 换掉微分

    由 x=ψ(t)x=\psi(t) 求出 dx=ψ′(t) dt\mathrm{d}x=\psi'(t)\,\mathrm{d}t，把被积函数中的 xx 和 dx\mathrm{d}x 同时换掉。

  3. 对 tt 积分

    用基本积分表或其它方法求出关于 tt 的原函数。

  4. 回代并检验

    用 t=ψ−1(x)t=\psi^{-1}(x) 把结果换回 xx，加上常数 CC；必要时对结果求导检验。

来源：换元积分法

三角代换的难点是 tt 的范围决定开根号后的符号；“课程约定”补充选范围的理由。

学习安排

教材先讲第一类换元法（凑微分），再讲第二类换元法（代换）。第一类是复合函数求导的逆用，重点在把 φ′(x) dx\varphi'(x)\,\mathrm{d}x 认成 dφ(x)\mathrm{d}\varphi(x)；第二类主动设置 x=ψ(t)x=\psi(t)，重点在选对代换并在最后回代。

例题顺序是：先用 ∫cos⁡(3x+2) dx\int\cos(3x+2)\,\mathrm{d}x 练线性替换，再用 ∫14−x2 dx\int\frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}\,\mathrm{d}x 练三角代换。复习时先默写常见凑微分表，再独立完成三角代换；根式代换和万能代换放在后面，作为消除根式和有理化三角函数的备用手段。

课程约定

  • 换元时 dx\mathrm{d}x 必须一起换，不能只替换被积函数中的 xx。
  • 第二类换元求出关于 tt 的原函数后，必须用反函数代回 xx；答案不能留在 tt 上。
  • 三角代换的 tt 范围要使开根号后的符号确定；范围不同，绝对值处理也不同。

重点与易错点

  • 凑微分只差常数因子时，在积分号外补上倒数；在 d\mathrm{d} 内加减常数不影响结果。
  • 第二类换元容易漏乘 ψ′(t)\psi'(t)，也容易忘记回代。
  • 三角代换开根号得到的是绝对值，必须按 tt 的范围判断符号。例如 4−x2=2∣cos⁡t∣\sqrt{4-x^{2}}=2\lvert\cos t\rvert，取 t∈(−π2,π2)t\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) 后才能写成 2cos⁡t2\cos t。
  • 根式代换令 u=ax+bnu=\sqrt[n]{ax+b} 后，dx=naun−1 du\mathrm{d}x=\frac{n}{a}u^{n-1}\,\mathrm{d}u，不要漏掉 1a\frac{1}{a}。
  • 万能代换计算量较大，只有当被积函数是 sin⁡x\sin x、cos⁡x\cos x 的有理式且其它方法不便使用时才选。

复习提醒

复习时独立写出两类换元的公式和适用条件，再核对第二类换元的回代与三角代换的范围。