8.5曲面及其方程

一条平面曲线 $C$ 绕它所在平面内的一条定直线 $l$ 旋转一周，所生成的曲面称为旋转曲面，$l$ 称为旋转轴，$C$ 称为母线。

设母线在 $yOz$ 坐标面内，方程为

曲面上任一点 $M(x,y,z)$ 由母线上某点 $M_1(0,y_1,z)$ 绕 $z$ 轴旋转得到，两点到 $z$ 轴的距离相等，即

因此把方程中的 $y$ 换成 $\pm\sqrt{x^2+y^2}$、$z$ 保持不变，就得到绕 $z$ 轴旋转的曲面方程：

绕 $y$ 轴旋转时，$y$ 不变，把 $z$ 换成 $\pm\sqrt{x^2+z^2}$：

母线在别的坐标面内时，先把方程写成含旋转轴坐标的形式，再替换与旋转轴垂直的那个坐标。

一条动直线 $l$ 沿定曲线 $C$ 移动，并且始终平行于一条定直线，这样生成的曲面称为柱面。定曲线 $C$ 称为准线，动直线 $l$ 称为母线。母线只决定延展方向，柱面的形状由准线决定。

由方程判断柱面：

• 方程中不含 $z$，形如 $f(x,y)=0$：截面 $z=z_0$ 上的截痕都是同一条曲线，曲面由平行于 $z$ 轴的直线组成，是母线平行于 $z$ 轴的柱面，准线在 $Oxy$ 面内。
• 方程中不含 $x$，形如 $f(y,z)=0$：母线平行于 $x$ 轴，准线在 $Oyz$ 面内。
• 方程中不含 $y$，形如 $f(x,z)=0$：母线平行于 $y$ 轴，准线在 $Oxz$ 面内。

常见的柱面：

• $x^2+y^2=R^2$：圆柱面，准线是 $Oxy$ 面上的圆，母线平行 $z$ 轴。
• $y^2=2px$：抛物柱面，准线是 $Oxy$ 面内的抛物线。
• $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$：椭圆柱面。
• $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$：双曲柱面。

当这样的柱面由空间曲线消去 $z$ 得到时，称为该曲线关于 $Oxy$ 面的投影柱面，具体用法见空间曲线及其方程。

三元二次方程（各项次数都不超过 $2$）所表示的曲面称为二次曲面。通过坐标平移与旋转化简后，常见类型可以用标准方程识别；下表均取 $a,b,c>0$。

双叶双曲面也可以写成 $\dfrac{z^2}{c^2}-\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$。轮换 $x,y,z$ 就得到沿其他坐标轴张开的形式，例如 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=1$ 的两支沿 $x$ 轴方向张开。