9.1多元函数的基本概念

多元函数的自变量是平面上的点，定义域和极限都要在平面点集上讨论。本页用 $P(x,y)$ 表示平面上的点，两点之间的距离取欧氏距离

设 $P_0(x_0,y_0)$ 是平面上一点，$\delta>0$。满足

的点 $P$ 的全体称为 $P_0$ 的 $\delta$ 邻域，记作 $U(P_0,\delta)$。几何上它是 $P_0$ 为圆心、$\delta$ 为半径的圆盘内部，不含圆周。

在邻域中去掉中心点，得到的集合

称为 $P_0$ 的去心邻域，记作 $\mathring U(P_0,\delta)$。

设 $E$ 是平面点集，$P$ 是平面上一点。

• 内点：存在 $P$ 的某个邻域 $U(P)$，使 $U(P)\subset E$。
• 外点：存在 $P$ 的某个邻域 $U(P)$，使 $U(P)\cap E=\varnothing$。
• 边界点：$P$ 的任何邻域内都既有属于 $E$ 的点，又有不属于 $E$ 的点。
• 边界：$E$ 的全部边界点构成的集合，记作 $\partial E$。
• 聚点：对任意 $\delta>0$，去心邻域 $\mathring U(P,\delta)$ 内总含有 $E$ 中的点。

• 开集：$E$ 中的点全是内点。
• 闭集：$E$ 的补集是开集；等价地，$E$ 包含它的全部聚点。
• 连通集：$E$ 不能分成两个非空、互不相交且在 $E$ 的相对拓扑中都开集的部分。对开集，连通等价于任意两点可用完全属于该集合的折线连接。
• 区域（开区域）：连通的开集。
• 闭区域：开区域 $D$ 与它的边界之并，记作 $\bar D=D\cup\partial D$。
• 有界集：存在以原点为圆心的圆盘，能把 $E$ 整个包含在内。
• 无界集：不是有界集的点集。

设 $D$ 是 $\mathbb R^2$ 中的一个点集。若对 $D$ 中每一点 $P(x,y)$，按某个对应规则 $f$ 都有唯一的实数 $z$ 与之对应，则称 $z$ 是自变量 $x,y$ 的二元函数，记作

其中 $x,y$ 是自变量，$z$ 是因变量，$D$ 是定义域，因变量的取值集合

是值域。自变量有 $n$ 个时，$u=f(x_1,x_2,\dots,x_n)$ 称为 $n$ 元函数。

若函数没有特别指明定义域，则定义域取使算式有意义的自变量全体，称为自然定义域。求自然定义域就是解一组不等式：分母不为零、偶次根号下非负、对数的真数为正，等等。

二元函数 $z=f(x,y)$ 的图形是空间点集

通常是一张曲面。

设二元函数 $f(P)=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某个去心邻域内有定义。若对任意给定的 $\epsilon>0$，总存在 $\delta>0$，使得当 $P\in\mathring U(P_0,\delta)$ 时恒有

则称常数 $A$ 为 $f(x,y)$ 当 $P\to P_0$ 时的极限，也称二重极限，记作

也写作 $\lim_{P\to P_0}f(P)=A$。

定义要求 $P$ 以任何方式趋近 $P_0$ 时函数值都趋于同一个 $A$。平面上趋近一点的方式有无穷多种：沿直线、沿抛物线、绕着点转圈逼近，都算。因此只要找到两条路径给出不同的极限值，就能断定二重极限不存在。

设 $f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某个邻域内有定义。若

则称 $f$ 在 $P_0$ 处连续。这个等式同时要求：$f(P_0)$ 有定义、二重极限存在、极限值等于函数值。

若 $f$ 在包含点集 $D$ 的开集上有定义，并在 $D$ 中每一点连续，则称 $f$ 在 $D$ 上连续。