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课程笔记

5.2微积分基本公式

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微积分基本定理

定理（原函数存在定理） 设 ff 在 [a,b][a,b] 上连续，则积分上限函数 Φ(x)=∫axf(t) dt\Phi(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t 在 [a,b][a,b] 上可导（端点处指相应的单侧导数），且

Φ′(x)=ddx∫axf(t) dt=f(x).\Phi'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t=f(x).

因此，连续函数 ff 的积分上限函数 Φ\Phi 就是 ff 的一个原函数。这条结论同时说明：在闭区间上连续的函数一定有原函数。

证明

设 x∈(a,b)x\in(a,b)，Δx≠0\Delta x\ne 0 且 x+Δx∈[a,b]x+\Delta x\in[a,b]。由积分对区间的可加性，

ΔΦ=Φ(x+Δx)−Φ(x)=∫xx+Δxf(t) dt.\Delta\Phi=\Phi(x+\Delta x)-\Phi(x) =\int_x^{x+\Delta x}f(t)\,\mathrm{d}t.

以 Δx>0\Delta x>0 为例（Δx<0\Delta x<0 时先交换上下限，结论相同）。在区间 [x,x+Δx][x,x+\Delta x] 上对 ff 用积分中值定理（见 定积分的概念与性质），存在 ξ∈[x,x+Δx]\xi\in[x,x+\Delta x]，使

∫xx+Δxf(t) dt=f(ξ)Δx.\int_x^{x+\Delta x}f(t)\,\mathrm{d}t=f(\xi)\Delta x.

于是 ΔΦΔx=f(ξ)\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta x}=f(\xi)。当 Δx→0\Delta x\to 0 时 ξ→x\xi\to x，由 ff 在 xx 处连续得 f(ξ)→f(x)f(\xi)\to f(x)，故 Φ′(x)=f(x)\Phi'(x)=f(x)。端点 x=ax=a、x=bx=b 处用同样的推理讨论单侧导数，结论相同。

上下限都是函数时的导数

设 ff 连续，ϕ\phi、ψ\psi 可导，且 ϕ(x)\phi(x)、ψ(x)\psi(x) 都落在 ff 的连续区间内，记

F(x)=∫ϕ(x)ψ(x)f(t) dt,F(x)=\int_{\phi(x)}^{\psi(x)}f(t)\,\mathrm{d}t,

则

F′(x)=ddx∫ϕ(x)ψ(x)f(t) dt=f[ψ(x)]ψ′(x)−f[ϕ(x)]ϕ′(x).F'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_{\phi(x)}^{\psi(x)}f(t)\,\mathrm{d}t =f[\psi(x)]\psi'(x)-f[\phi(x)]\phi'(x).

这条公式称为莱布尼茨公式。它的来源是把积分拆成两个积分上限函数之差：

∫ϕ(x)ψ(x)f(t) dt=∫aψ(x)f(t) dt−∫aϕ(x)f(t) dt,\int_{\phi(x)}^{\psi(x)}f(t)\,\mathrm{d}t =\int_a^{\psi(x)}f(t)\,\mathrm{d}t-\int_a^{\phi(x)}f(t)\,\mathrm{d}t,

再对两项分别用微积分基本定理，并对外层用复合函数的链式法则求导。

来源：积分上限函数的导数

这一段是5.2的枢纽；“易错点”里关于变限求导的两条，都要回到这里的公式再套一次。

牛顿-莱布尼茨公式

定理 设 ff 在 [a,b][a,b] 上连续，FF 是 ff 在 [a,b][a,b] 上的一个原函数，则

∫abf(x) dx=F(b)−F(a).\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a).

这个公式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式。

证明

令 Φ(x)=∫axf(t) dt\Phi(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t。由微积分基本定理，Φ′(x)=f(x)\Phi'(x)=f(x)，所以 Φ\Phi 也是 ff 的原函数。于是

(F(x)−Φ(x))′=f(x)−f(x)=0.\bigl(F(x)-\Phi(x)\bigr)'=f(x)-f(x)=0.

由拉格朗日中值定理的推论，导数恒为零的函数为常数，设 F(x)−Φ(x)=CF(x)-\Phi(x)=C。令 x=ax=a，注意 Φ(a)=0\Phi(a)=0，得 C=F(a)C=F(a)。因此

Φ(x)=F(x)−F(a).\Phi(x)=F(x)-F(a).

取 x=bx=b，即得 ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)。

记号

通常把 F(b)−F(a)F(b)-F(a) 记作 [F(x)]ab\bigl[F(x)\bigr]_a^b 或 F(x)∣abF(x)\big|_a^b，于是

∫abf(x) dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a).\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\bigl[F(x)\bigr]_a^b=F(b)-F(a).

方括号与竖线含义相同：先代入上限，再减去代入下限的结果。

意义

牛顿-莱布尼茨公式把定积分与不定积分联系起来。定积分本来是由积分和的极限定义的，直接用定义计算需要分割、求和再取极限；公式说明它只取决于原函数在两个端点处的值之差。于是求定积分归结为求原函数，而求原函数的方法（基本积分公式、换元积分法、分部积分法等）可以直接借用。

计算步骤

  1. 求一个原函数

    求出 f(x)f(x) 的一个原函数 F(x)F(x)。这里只需一个原函数，不必写常数 CC。

  2. 代入上下限

    计算 F(b)−F(a)F(b)-F(a)，即上限处的值减去下限处的值。

来源：牛顿–莱布尼茨公式

公式本身只用到端点值，所以“课程约定”里强调 FF 不必带常数；真正要练的是代上下限的顺序。

学习安排

教材的顺序是：先定义积分上限函数 Φ(x)=∫axf(t) dt\Phi(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t，再证明 Φ′(x)=f(x)\Phi'(x)=f(x)，由此得到“连续函数存在原函数”；然后把积分上下限推广为函数，得到变限积分的求导公式；最后引出牛顿-莱布尼茨公式，把定积分的计算转化为求原函数。

  • 本节只解决“已知原函数怎么算定积分”。原函数怎么找，是第4章的内容：基本积分公式、换元积分法、分部积分法与有理函数的积分。5.3再把换元与分部直接用到定积分上，届时会多出“换元必换限”的步骤。
  • 阅读顺序建议：先只记 Φ′(x)=f(x)\Phi'(x)=f(x) 这一条，用它推变限求导；再用 Φ\Phi 与任意原函数相差常数推出牛顿-莱布尼茨公式。两步都自己推一遍，比背公式可靠。

课程约定

  • [F(x)]ab[F(x)]_a^b 和 F(x)∣abF(x)\big|_a^b 两种写法表示 F(b)−F(a)F(b)-F(a)，两者等价。写解答时先写出原函数，再依次代入上下限。
  • 被积函数用 tt、上限用 xx：∫axf(t) dt\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t 中的 tt 是哑变量，求导时自变量是上限 xx。
  • 定积分的结果是数，不定积分的结果是函数族（含 +C+C）。牛顿-莱布尼茨公式中的 FF 只取一个原函数，常数在 F(b)−F(a)F(b)-F(a) 中自动消去，不需要再写 +C+C。
  • 上下限都是函数时按“上限项减下限项”写；拿不准就拆成两个积分上限函数分别求导，再相减。

易错点

  • 公式的前提是 ff 在 [a,b][a,b] 上连续。被积函数在区间内有瑕点时不能直接代原函数：例如 ∫−111x2 dx\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x 按公式会算出 −2-2，但这个积分其实发散，要按5.4的反常积分处理。
  • 变限求导漏乘链式因子：上限是 ψ(x)\psi(x) 时，要乘 ψ′(x)\psi'(x)；只把 tt 换成 ψ(x)\psi(x) 是最常见的错误。
  • 上下限都是函数时两项符号相反：上限项取 ++，下限项取 −-。少写一项或把下限项写成加号都错；不要直接对 ∫ϕ(x)ψ(x)\int_{\phi(x)}^{\psi(x)} 套 Φ′(x)=f(x)\Phi'(x)=f(x)。
  • 交换上下限要变号：∫baf=−∫abf\int_b^a f=-\int_a^b f。代值前先确认哪个是上限。