7.1微分方程的基本概念

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含有未知函数、未知函数的导数（或微分）以及自变量的方程称为微分方程。方程中必须出现未知函数的导数或微分，但不必显式出现自变量。

例如 $y'+2xy=\sin x$ 是微分方程； $y^2+x^2=1$ 只含未知函数与自变量，是代数方程，不是微分方程。

本页只讨论常微分方程，未知函数记为 $y=y(x)$ ，导数用 $y'$ 、 $y''$ 、 $\dots$ 、 $y^{(n)}$ 表示，其中

y'=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}.

微分方程中出现的未知函数导数的最高阶数，称为方程的阶。

y'+ky=0

是一阶方程；

y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)

是二阶方程。

设 $y=\varphi(x)$ 在区间 $I$ 上有直到 $n$ 阶的导数。若把 $\varphi$ 代入方程后，等式在 $I$ 上恒成立，则称 $\varphi$ 是方程在 $I$ 上的解。解必须在使方程各项都有意义的区间上讨论。

$n$ 阶方程的通解是含有 $n$ 个相互独立任意常数的解族：

y=\varphi(x,C_1,C_2,\dots,C_n).

“相互独立”指这些常数不能通过重新组合合并成更少的常数。一阶方程的通解含一个常数 $C$ ，二阶方程的通解含两个常数 $C_1,C_2$ 。

不含任意常数的解称为特解。特解通常由初始条件从通解中选出。

用来确定通解中任意常数的条件称为初始条件。在 $x=x_0$ 处，一阶方程给一个条件

y\vert_{x=x_0}=y_0,

二阶方程给两个条件

y\vert_{x=x_0}=y_0,\qquad y'\vert_{x=x_0}=y'_0.

一般地， $n$ 阶方程需要 $y,y',\dots,y^{(n-1)}$ 在 $x_0$ 处的值。求微分方程满足给定初始条件的解的问题，称为初值问题。

术语这一段是后面两节的判据；“课程约定”里的记号与编号规则，都从这里的阶、通解与初始条件推出。

第7章按“先立术语，再学解法”的顺序编排：7.1定义微分方程、阶、解、通解、特解和初值问题；7.2从可分离变量方程开始给出完整求解流程；7.3的齐次方程换元后仍归结为7.2。

初读7.1时先能判断一个式子是不是微分方程、属于常微分方程还是偏微分方程、是几阶，再用7.2、7.3算出的通解和特解对照这些定义。人口增长模型说明方程可以由变化率的假设列出来。

未知函数默认写成 $y=y(x)$ ，导数用 $y'$ 、 $y''$ 简写，需要强调自变量时再写 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 。
初始条件统一写成 $y\vert_{x=x_0}=y_0$ ；二阶方程再加一条 $y'\vert_{x=x_0}=y'_0$ 。
通解中的任意常数按阶数编号，一阶用 $C$ ，二阶用 $C_1,C_2$ 。
判断方程类型时先数自变量个数，再找最高阶导数。第7章只讨论常微分方程，偏微分方程在这里只需识别。