课程笔记

8.3平面及其方程

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平面及其方程

学习安排

教材按“点法式 → 一般式 → 截距式 → 两平面夹角 → 点到平面的距离 → 求法”的顺序展开：先用点与法向量建立方程，再整理成一般式，随后用截距式处理与三条坐标轴都相交的平面，最后才用一般式的系数讨论夹角、位置关系和距离。

读的时候抓住一条线索就够了：三种方程是同一平面的不同写法，各自能直接读出的量不同——点法式读出点和法向量，一般式直接读出法向量，截距式读出三条坐标轴上的截距。后面的判定与计算都回到法向量。

本节的重点是求平面方程，也就是找法向量。教材给出的两条途径（已知三点用叉乘、平行于两个已知向量用叉乘）都服务于这一点；已经知道法向量时直接代点法式即可。下一节的空间直线用两个平面方程联立表示，所以这里要把一般式和法向量练熟。

平面方程的三种形式

过一点并与一个非零向量垂直的点的全体构成一个平面，这个非零向量称为平面的法向量。因此确定一个平面需要两个要素：平面上的一点，以及平面的一个法向量。

设平面过点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ ，法向量为 $\mathbf{n}=(A,B,C)$ ，其中 $A,B,C$ 不全为零。点 $M(x,y,z)$ 在该平面上，当且仅当向量

\overrightarrow{M_0M}=(x-x_0,\ y-y_0,\ z-z_0)

与 $\mathbf{n}$ 垂直，即 $\mathbf{n}\cdot\overrightarrow{M_0M}=0$ 。写成坐标形式得到点法式方程

A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.

展开并合并常数项，点法式化为一般方程

Ax+By+Cz+D=0,

其中 $A,B,C$ 不全为零， $D=-(Ax_0+By_0+Cz_0)$ 。反过来，任一满足 $A,B,C$ 不全为零的上述方程都表示一个平面，且 $(A,B,C)$ 就是它的一个法向量：取平面上一点 $M_0$ ，把方程移项就能写成以 $M_0$ 为已知点的点法式。

若平面与三条坐标轴分别交于 $P(a,0,0)$ 、 $Q(0,b,0)$ 、 $R(0,0,c)$ ，且 $a,b,c$ 都不为零，把三点坐标代入一般方程可解出系数，得到截距式方程

\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1,

$a,b,c$ 称为平面在三条坐标轴上的截距。

同一平面的一般方程不唯一：方程两边乘以同一个非零常数仍是同一个平面，所以 $(A,B,C)$ 与 $D$ 只能确定到相差一个非零倍数。用哪个倍数求法向量、算夹角都不影响结果。

特殊位置的平面

一般方程中某些系数为零时，平面的位置有确定的几何含义：

系数条件	平面的位置
$D=0$	过原点 $(0,0,0)$
$A=0$	平行于 $x$ 轴（ $D=0$ 时通过 $x$ 轴）
$B=0$	平行于 $y$ 轴（ $D=0$ 时通过 $y$ 轴）
$C=0$	平行于 $z$ 轴（ $D=0$ 时通过 $z$ 轴）
$A=B=0$	平行于 $xOy$ 坐标面，即垂直于 $z$ 轴
$A=C=0$	平行于 $xOz$ 坐标面，即垂直于 $y$ 轴
$B=C=0$	平行于 $yOz$ 坐标面，即垂直于 $x$ 轴

规律是：方程中缺少哪个变量，平面就平行于哪条坐标轴；缺少两个变量时，平面平行于由这两个变量确定的坐标面。

来源：平面及其方程

三种写法之间的转换只靠代数变形，不需要新的几何条件；做题时把方程在三种形式间换一遍，就能看出哪一种最省事。

位置关系与距离

两平面的夹角

设平面 $\Pi_1$ 、 $\Pi_2$ 的法向量分别为 $\mathbf{n}_1=(A_1,B_1,C_1)$ 、 $\mathbf{n}_2=(A_2,B_2,C_2)$ 。两平面的夹角 $\theta$ 取 $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ ，等于两法向量夹角或其补角，因此

\cos\theta =\frac{\lvert \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2\rvert}{\lvert \mathbf{n}_1\rvert\,\lvert \mathbf{n}_2\rvert} =\frac{\lvert A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2\rvert} {\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}.

夹角按锐角定义，所以分子取绝对值。用法向量直接算出的夹角可能是钝角，取绝对值后才等于两平面的夹角。

两平面的位置关系

关系	条件
垂直	$\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2=0$ ，即 $A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0$
平行	$\mathbf{n}_1\parallel\mathbf{n}_2$ ，即 $\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2=\mathbf{0}$
重合	$\mathbf{n}_1\parallel\mathbf{n}_2$ ，且两平面有公共点

法向量平行时常用分量比例式 $\dfrac{A_1}{A_2}=\dfrac{B_1}{B_2}=\dfrac{C_1}{C_2}$ 表示平行。

点到平面的距离

点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 到平面 $Ax+By+Cz+D=0$ 的距离为

d=\frac{\lvert Ax_0+By_0+Cz_0+D\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.

这个公式是向量 $\overrightarrow{P_1P_0}$ （ $P_1$ 为平面上任一点）在法向量方向上投影的长度；分子必须取绝对值，否则得到的是带符号的投影。

来源：平面及其方程

夹角、位置关系与点到平面的距离都只用到一般式的系数，所以教材把它们统一放在法向量的记号下讨论。计算前先把方程整理成 $Ax+By+Cz+D=0$ ，否则 $A,B,C,D$ 读错，后面的比例式与距离都会跟着错。

课程约定

平面用法向量 $\mathbf{n}=(A,B,C)$ 表示；一般式统一写成 $Ax+By+Cz+D=0$ ，其中 $A,B,C$ 不全为零。
截距式写作 $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$ ，教材在引出时单独强调 $a,b,c\ne 0$ 。
讨论两平面位置关系时，教材先给分量比例式，再把它与法向量平行等同看待。
点到平面的距离直接在一般式上计算，不要求先化成点法式。

易错点

比例式只能说明两平面平行或重合。教材的平行条件没有区分两者，做判定题需要区分时，要再取一个点代入。
点到平面距离的分子要取绝对值，否则得到的是带符号的投影。
特殊位置里 $A=0$ 只说明平面平行于 $x$ 轴；平面通过 $x$ 轴还要求 $D=0$ ，不能只凭一个系数为零就断言过轴。