课程笔记

5.3定积分的计算

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定积分换元

第一类换元法

第一类换元法是复合函数求导法则的逆应用，适用于被积函数已经呈现为 $f(\varphi(x))\varphi'(x)$ 的形式，或只差一个常数因子的情形。操作时把 $\varphi'(x)\,\mathrm{d}x$ 凑成 $\mathrm{d}\varphi(x)$ ，再整体换成 $u$ 。

找出内层函数

观察被积函数能否写成 $f(\varphi(x))\varphi'(x)$ ，确定 $\varphi(x)$ 。
凑出微分

把 $\varphi'(x)\,\mathrm{d}x$ 写成 $\mathrm{d}\varphi(x)$ 。如果只差常数因子，在积分号外补上相应的倒数。
对 $u$ 积分

令 $u=\varphi(x)$ ，用基本积分表求 $\int f(u)\,\mathrm{d}u$ 。
代回并加常数

把 $u$ 换回 $\varphi(x)$ ，并加上积分常数 $C$ 。

常见凑微分

被积表达式中的因子	凑成的微分
$\mathrm{d}x$	$\mathrm{d}x$
$k\,\mathrm{d}x$	$\mathrm{d}(kx)$
$x\,\mathrm{d}x$	$\dfrac{1}{2}\,\mathrm{d}(x^{2})$
$\sin x\,\mathrm{d}x$	$-\mathrm{d}(\cos x)$
$\cos x\,\mathrm{d}x$	$\mathrm{d}(\sin x)$
$\dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x$	$\mathrm{d}(\ln\lvert x\rvert)$
$e^{x}\,\mathrm{d}x$	$\mathrm{d}(e^{x})$
$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,\mathrm{d}x$	$\mathrm{d}(\arcsin x)$
$\dfrac{1}{1+x^{2}}\,\mathrm{d}x$	$\mathrm{d}(\arctan x)$

第二类换元法

第二类换元法主动设置 $x=\psi(t)$ ，把难积的 $x$ 表达式换成较简单的 $t$ 表达式。它主要用于消除根式，或把三角函数有理式化为有理函数。求出关于 $t$ 的原函数后，必须回代成 $x$ 。

选择代换

根据根式或三角函数的形式确定 $x=\psi(t)$ ，并取使根式化简后符号确定的 $t$ 范围。
换掉微分

由 $x=\psi(t)$ 求出 $\mathrm{d}x=\psi'(t)\,\mathrm{d}t$ ，把被积函数中的 $x$ 和 $\mathrm{d}x$ 同时换掉。
对 $t$ 积分

用基本积分表或其它方法求出关于 $t$ 的原函数。
回代并检验

用 $t=\psi^{-1}(x)$ 把结果换回 $x$ ，加上常数 $C$ ；必要时对结果求导检验。

三角代换

三角代换用于消除二次根式。下表默认 $a>0$ ， $t$ 的范围取得使根式化简后不需要再加绝对值。

根式类型	换元公式	$t$ 的范围	化简结果
$\sqrt{a^{2}-x^{2}}$	$x=a\sin t$	$\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$	$\sqrt{a^{2}-x^{2}}=a\cos t$
$\sqrt{a^{2}+x^{2}}$	$x=a\tan t$	$\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$	$\sqrt{a^{2}+x^{2}}=a\sec t$
$\sqrt{x^{2}-a^{2}}$	$x=a\sec t$	$\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right)\cup\left[\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right)$	$\sqrt{x^{2}-a^{2}}=a\tan t$

根式代换

被积函数含有 $\sqrt[n]{ax+b}$ 时，令 $u=\sqrt[n]{ax+b}$ ，则 $u^{n}=ax+b$ ，从而

x=\frac{u^{n}-b}{a},\qquad \mathrm{d}x=\frac{n}{a}u^{n-1}\,\mathrm{d}u.

于是

\int f\left(\sqrt[n]{ax+b}\right)\mathrm{d}x =\int f(u)\cdot\frac{n}{a}u^{n-1}\,\mathrm{d}u.

这里 $n$ 为正整数， $a\ne 0$ ，且根式要在实数的范围内有定义。

万能代换

被积函数是 $\sin x$ 、 $\cos x$ 的有理式时，可令 $t=\tan\dfrac{x}{2}$ 。在 $x\ne(2k+1)\pi$ 的区间上，

\sin x=\frac{2t}{1+t^{2}},\qquad \cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\qquad \mathrm{d}x=\frac{2}{1+t^{2}}\,\mathrm{d}t.

这样 $\int R(\sin x,\cos x)\,\mathrm{d}x$ 就化为关于 $t$ 的有理函数的积分。万能代换的计算量通常较大，只在其它方法不便使用时才选。

定积分换元

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，变换 $x=\varphi(t)$ 满足

$\varphi(\alpha)=a$ ， $\varphi(\beta)=b$ ；
$\varphi$ 在 $[\alpha,\beta]$ （或 $[\beta,\alpha]$ ）上具有连续导数，且值域包含在 $[a,b]$ 内，

则

\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\int_\alpha^\beta f[\varphi(t)]\varphi'(t)\,\mathrm{d}t.

条件不要求 $\alpha<\beta$ ：当 $\alpha>\beta$ 时，右端按从 $\alpha$ 到 $\beta$ 的方向积分，交换上下限会使符号改变。

不定积分中常用的凑微分与三角代换也可用于定积分，但换元时要同时换限。

来源：换元积分法

定积分换元要遵循“换元必换限”与“换元不回代”，并检查变换条件和积分方向。

定积分的分部积分

分组是否恰当决定分部积分能否奏效。理想的选择要同时满足两点：

$u$ 求导后更简单。 幂函数求导降次，对数函数与反三角函数求导后化为有理函数，求导能使复杂因子消失。
$\mathrm{d}v$ 容易积分。 要能立刻写出 $v=\int \mathrm{d}v$ ，例如指数函数、正弦、余弦。

这两条常常互相冲突：对数函数求导变简单却不容易积分，指数函数恰好相反。口诀就是用来打破僵局的。

口诀“反对幂三指”

在一个乘积中，按下列顺序从高到低排列，排在最前的函数取作 $u$ ，其余部分连同 $\mathrm{d}x$ 一起作为 $\mathrm{d}v$ 。

顺序	类型	典型函数	处理
反	反三角函数	$\arctan x$ ， $\arcsin x$	取作 $u$
对	对数函数	$\ln x$	取作 $u$
幂	幂函数	$x^n$ ， $\dfrac{1}{x^n}$	通常取作 $u$
三	三角函数	$\sin x$ ， $\cos x$	通常取作 $\mathrm{d}v$
指	指数函数	$e^{ax}$ ， $a^x$	取作 $\mathrm{d}v$

例如 $\int x\ln x\,\mathrm{d}x$ 中，“对”优先于“幂”，所以取 $u=\ln x$ 、 $\mathrm{d}v=x\,\mathrm{d}x$ ； $\int x^2e^x\,\mathrm{d}x$ 中，“幂”优先于“指”，所以取 $u=x^2$ 、 $\mathrm{d}v=e^x\,\mathrm{d}x$ 。

三类常见形态

对数或反三角乘幂函数：一次分部就把 $u$ 化成有理函数，剩下的积分用凑微分处理。
幂函数乘指数或三角函数：每分部一次幂函数的次数降低一次， $x^n$ 需要连续做 $n$ 次，直到幂函数变成常数。
指数函数乘三角函数：降次行不通，两次分部后右端重新出现原积分，于是把原积分当作未知量，解一次方程。

定积分的分部积分

设 $u(x)$ 、 $v(x)$ 在 $[a,b]$ 上具有连续导数，则

\int_a^b u(x)v'(x)\,\mathrm{d}x=[u(x)v(x)]_a^b-\int_a^b v(x)u'(x)\,\mathrm{d}x,

简写为

\int_a^b u\,\mathrm{d}v=[uv]_a^b-\int_a^b v\,\mathrm{d}u.

选取 $u$ 与 $\mathrm{d}v$

把被积表达式看成两类函数的乘积。优先选择求导后会简化的因子作 $u$ ，其余部分连同 $\mathrm{d}x$ 作为 $\mathrm{d}v$ ；口诀只能作为选取的提示。
求 $v$ 与 $\mathrm{d}u$

对 $\mathrm{d}v$ 积分得 $v$ ，对 $u$ 求导得 $\mathrm{d}u$ 。 $v$ 只取一个原函数，不加任意常数。
代入公式

先算边界项 $[uv]_a^b$ ，再处理 $\int_a^b v\,\mathrm{d}u$ 。边界项必须在这一步就代入上下限，不能留到最后。

来源：分部积分法

对称区间与周期性

奇偶性

设 $f$ 在 $[-a,a]$ 上连续， $a>0$ 。

若 $f$ 是奇函数，即 $f(-x)=-f(x)$ ，则
$\int_{-a}^a f(x)\,\mathrm{d}x=0.$
若 $f$ 是偶函数，即 $f(-x)=f(x)$ ，则
$\int_{-a}^a f(x)\,\mathrm{d}x=2\int_0^a f(x)\,\mathrm{d}x.$

两条合起来常记作“偶倍奇零”。

证明 “偶倍奇零”的来源

在 $[-a,0]$ 上令 $x=-t$ ，则

\int_{-a}^0 f(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^0 f(-t)(-\mathrm{d}t)=\int_0^a f(-t)\,\mathrm{d}t,

于是

\int_{-a}^a f(x)\,\mathrm{d}x=\int_0^a\bigl[f(x)+f(-x)\bigr]\,\mathrm{d}x.

$f$ 为奇函数时括号内为 $0$ ；为偶函数时括号内为 $2f(x)$ ，结论成立。

周期性

设 $f$ 是以 $T$ 为周期的连续函数，则对任意实数 $a$ ，

\int_a^{a+T}f(x)\,\mathrm{d}x=\int_0^T f(x)\,\mathrm{d}x.

也就是说，长度为一个周期的区间上的积分值与起点无关。把 $[a,a+T]$ 拆成 $[a,0]$ 、 $[0,T]$ 、 $[T,a+T]$ 三段，对最后一段作平移 $x=t+T$ ，它与第一段正好相消。

来源：定积分的对称与周期性

记

I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x\,\mathrm{d}x=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^n x\,\mathrm{d}x,\qquad n=0,1,2,\dots

两个积分相等，因为作代换 $x=\frac{\pi}{2}-t$ 后 $\sin^n x$ 与 $\cos^n t$ 互换。

对 $n\ge 2$ ，

I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2},\qquad I_0=\frac{\pi}{2},\quad I_1=1.

反复使用递推，得到

I_n= \begin{cases} \dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2}, & n \text{ 为偶数},\\[6pt] \dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac{2}{3}\cdot 1, & n \text{ 为奇数}. \end{cases}

用双阶乘写就是 $I_{2m}=\dfrac{(2m-1)!!}{(2m)!!}\cdot\dfrac{\pi}{2}$ ， $I_{2m+1}=\dfrac{(2m)!!}{(2m+1)!!}$ 。

证明递推公式的推导

对 $n\ge 2$ ，把 $\sin^n x$ 写成 $\sin^{n-1}x\cdot\sin x$ ，取 $u=\sin^{n-1}x$ ， $\mathrm{d}v=\sin x\,\mathrm{d}x$ ，则 $v=-\cos x$ 。于是

\begin{aligned} I_n &=\bigl[-\sin^{n-1}x\cos x\bigr]_0^{\frac{\pi}{2}} +(n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-2}x\cos^2x\,\mathrm{d}x\\ &=(n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-2}x\,(1-\sin^2x)\,\mathrm{d}x\\ &=(n-1)(I_{n-2}-I_n). \end{aligned}

边界项在两端都为 $0$ ，移项得 $nI_n=(n-1)I_{n-2}$ 。

来源：华里斯公式

“偶倍奇零”只在积分收敛时成立；华里斯公式紧接在这一组之后，但对上下限另有要求，不要和奇偶性混用。

学习安排

本节的计算全部建立在5.2的牛顿-莱布尼茨公式上：先求原函数，再代入上下限。教材按“换元 → 分部 → 用函数性质化简”的顺序展开，前两条是把换元积分法与分部积分法搬到定积分上，最后一条才是定积分特有的化简手段。

复习时先看被积函数的结构再选路线：能凑成 $f[\varphi(t)]\varphi'(t)$ 的用换元，是两类函数乘积的用分部，区间对称、函数有周期或幂次为 $\sin^n x$ 的先用性质化简。

课程约定

定积分换元要求端点对应与被积函数连续导数；换元后上下限随 $t$ 一起换成 $\alpha,\beta$ ，其中 $\alpha$ 与 $\beta$ 的顺序由变换确定。
定积分换元后不再回代：算出关于 $t$ 的原函数后直接代入 $\alpha,\beta$ 。这是与第4章不定积分换元的主要区别。
分部积分优先选求导后易化简的因子作 $u$ ，并在边界项 $[uv]_a^b$ 中代入上下限。
$\Gamma$ 函数放在5.4的反常积分中讨论。

易错点

只换被积函数不换限，或换限后仍把结果回代成 $x$ 的函数。
换元时漏乘 $\varphi'(t)$ ，尤其是 $\mathrm{d}x=\varphi'(t)\,\mathrm{d}t$ 中的导数。
华里斯公式只适用于 $\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nx\,\mathrm{d}x$ 与 $\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^nx\,\mathrm{d}x$ ；上下限一变，就不能直接套用。
把“偶倍奇零”或分部积分直接用在反常积分上，却没有先检查积分收敛、边界项极限存在。