6.1定积分的元素法 · Learning Notes

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设量 $Q$ 分布在区间 $[a,b]$ 上，并且对区间可加：把 $[a,b]$ 分成若干小段，各段对应的量之和等于 $Q$ 。在 $[x,x+\mathrm{d}x]$ 上，若 $Q$ 的增量 $\Delta Q$ 可近似写成

\Delta Q\approx\mathrm{d}Q=f(x)\,\mathrm{d}x,

其中 $\mathrm{d}Q$ 与 $\Delta Q$ 的误差在分段细化时受到一致控制，例如误差为一致的 $o(\mathrm{d}x)$ ，则称 $\mathrm{d}Q=f(x)\,\mathrm{d}x$ 为量 $Q$ 的积分微元（简称微元），并且

Q=\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x.

“可加性”保证各段能累加成积分，“线性主部”与对余项的一致控制保证分段累加后的总误差趋于零。两个条件缺一不可。

定义里“可加性”与“线性主部”是本节的判断标准；“课程约定”把三类量各自的微元写法固定下来，做题时对照检查。

由曲线 $y=f(x)$ （ $f(x)\ge 0$ ）、 $x$ 轴及直线 $x=a$ 、 $x=b$ 围成的曲边梯形，在 $x$ 处取宽 $\mathrm{d}x$ 的窄条，高近似为 $f(x)$ ，于是

\mathrm{d}A=f(x)\,\mathrm{d}x,\qquad A=\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x.

若图形由上下两条曲线 $y=f(x)$ 、 $y=g(x)$ （ $f(x)\ge g(x)$ ）围成，微元的高换成两者之差：

\mathrm{d}A=\bigl[f(x)-g(x)\bigr]\,\mathrm{d}x,\qquad A=\int_a^b\bigl[f(x)-g(x)\bigr]\,\mathrm{d}x.

由 $y=f(x)$ 、 $x$ 轴及 $x=a$ 、 $x=b$ 围成的图形绕 $x$ 轴旋转，在 $x$ 处截出厚 $\mathrm{d}x$ 的薄圆盘，底面半径为 $|f(x)|$ ，于是

\mathrm{d}V=\pi f^2(x)\,\mathrm{d}x,\qquad V=\pi\int_a^bf^2(x)\,\mathrm{d}x.

物体在沿 $x$ 轴方向的变力 $F(x)$ 作用下从 $x=a$ 移到 $x=b$ 。位移 $\mathrm{d}x$ 很小时 $F(x)$ 可近似看作常数，功微元为

\mathrm{d}W=F(x)\,\mathrm{d}x,\qquad W=\int_a^bF(x)\,\mathrm{d}x.

三类的顺序与教材的例子一致；做完题把微元与图形的几何量对一遍，比急着积分更容易发现写错的 $f(x)$ 。

元素法先给出一般步骤，再按“面积 → 体积 → 功”的顺序逐类应用。每个例子都落在同一个模式上：先确认量对区间可加，再写微元，最后积分。复习时从“这个量的微元是什么”入手。

本课程用 $\mathrm{d}Q$ 表示微元，用 $\Delta Q$ 表示小区间上的实际增量；写微元时只保留 $\mathrm{d}x$ 的线性项，高阶无穷小一律略去。
面积微元的高取“上曲线减下曲线”。
旋转体体积默认绕 $x$ 轴旋转，微元是垂直于 $x$ 轴的薄圆盘，半径取曲线到旋转轴的距离。
变力做功的自变量是位移，只有力的方向与位移方向一致时，功才等于力对位移的积分。