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课程笔记

9.3全微分

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学习安排

偏导数只描述沿坐标轴方向的变化；要刻画两个自变量同时变化时函数值的总改变量，就需要全微分。教材先复习单自变量变化时的偏增量与偏微分，再把两个自变量同时变化的情形归结为全增量，用它的线性主部定义全微分，接着讨论可微与连续、偏导数的关系，最后用叠加原理解释全微分的结构。

这一节的判断顺序是：先确认偏导数在该点是否存在，再检查偏导数是否连续。偏导数连续可以直接判可微；不连续时才回到定义，验证 Δz−(fxΔx+fyΔy)\Delta z-(f_x\Delta x+f_y\Delta y) 是否为 o(ρ)o(\rho)。与一元函数相比，多元函数不再有“可导与可微等价”，这是本章最容易套错的地方。

全微分的定义

记号与偏增量

设二元函数 z=f(x,y)z=f(x,y) 在点 (x0,y0)(x_0,y_0) 的某个邻域内有定义。本页用 Δx\Delta x、Δy\Delta y 表示自变量的增量，并记

ρ=(Δx)2+(Δy)2,\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2},

即点 (x0+Δx,y0+Δy)(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y) 到 (x0,y0)(x_0,y_0) 的距离。ff 对 xx 的偏导数记作

∂z∂x=fx(x,y)=lim⁡Δx→0f(x+Δx,y)−f(x,y)Δx,\frac{\partial z}{\partial x}=f_x(x,y) =\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x},

求这个极限时 yy 固定不变；∂z∂y=fy(x,y)\dfrac{\partial z}{\partial y}=f_y(x,y) 类似，求值时 xx 固定不变。

只让一个自变量变化，得到的函数值改变量称为偏增量：

Δxz=f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0),Δyz=f(x0,y0+Δy)−f(x0,y0).\Delta_x z=f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0),\qquad \Delta_y z=f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0).

当偏导数存在时，偏增量的线性主部称为偏微分：

dxz=fx(x0,y0) Δx,dyz=fy(x0,y0) Δy.\mathrm{d}_x z=f_x(x_0,y_0)\,\Delta x,\qquad \mathrm{d}_y z=f_y(x_0,y_0)\,\Delta y.

其中 dxz\mathrm{d}_x z 只计入 xx 方向的变化，dyz\mathrm{d}_y z 只计入 yy 方向的变化。

全微分

两个自变量同时产生增量 Δx\Delta x、Δy\Delta y 时，函数值的总改变量称为全增量：

Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0).\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0).

若存在与 Δx\Delta x、Δy\Delta y 无关的常数 AA、BB，使得

Δz=A Δx+B Δy+o(ρ)(ρ→0),\Delta z=A\,\Delta x+B\,\Delta y+o(\rho)\qquad(\rho\to 0),

则称函数 z=f(x,y)z=f(x,y) 在点 (x0,y0)(x_0,y_0) 处可微，并把线性部分

dz=A Δx+B Δy\mathrm{d}z=A\,\Delta x+B\,\Delta y

称为 ff 在 (x0,y0)(x_0,y_0) 处的全微分。o(ρ)o(\rho) 表示比 ρ\rho 高阶的无穷小，所以 dz\mathrm{d}z 是全增量的线性主部：ρ\rho 足够小时，Δz≈dz\Delta z\approx\mathrm{d}z。

与一元情形一样，规定自变量的微分就是它的增量，即 dx=Δx\mathrm{d}x=\Delta x、dy=Δy\mathrm{d}y=\Delta y。由下文可微的必要条件，可微时 A=fx(x0,y0)A=f_x(x_0,y_0)、B=fy(x0,y0)B=f_y(x_0,y_0)，因此全微分通常写成

dz=∂z∂x dx+∂z∂y dy=fx dx+fy dy.\mathrm{d}z =\frac{\partial z}{\partial x}\,\mathrm{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\,\mathrm{d}y =f_x\,\mathrm{d}x+f_y\,\mathrm{d}y .

来源：全微分

定义本身只是一个等式，判断某个函数可不可微时，要回到这个等式核对 ρ\rho 的高阶项。

可微、连续与偏导数

计算步骤

  1. 求两个偏导数

    分别固定另一个自变量，求出 fx(x0,y0)f_x(x_0,y_0) 与 fy(x0,y0)f_y(x_0,y_0)。

  2. 写出全微分

    代入 dz=fx(x0,y0) dx+fy(x0,y0) dy\mathrm{d}z=f_x(x_0,y_0)\,\mathrm{d}x+f_y(x_0,y_0)\,\mathrm{d}y。若题目给出具体增量，就用 Δx\Delta x、Δy\Delta y 代替 dx\mathrm{d}x、dy\mathrm{d}y。

  3. 核对适用范围

    确认两个偏导数在该点存在。若要用 dz\mathrm{d}z 近似 Δz\Delta z，还需要先确认函数在该点可微，通常就是检查两个偏导数在该点是否连续。

可微、连续与偏导数

可微的必要条件

若 z=f(x,y)z=f(x,y) 在点 (x0,y0)(x_0,y_0) 处可微，则

  1. ff 在 (x0,y0)(x_0,y_0) 处连续；
  2. ff 在 (x0,y0)(x_0,y_0) 处存在两个偏导数，且 A=fx(x0,y0)A=f_x(x_0,y_0)、B=fy(x0,y0)B=f_y(x_0,y_0)。
证明

设 Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)。

先证连续。因为 ∣Δx∣≤ρ|\Delta x|\le\rho、∣Δy∣≤ρ|\Delta y|\le\rho，所以 ρ→0\rho\to0 时 Δx→0\Delta x\to0、Δy→0\Delta y\to0，于是

lim⁡ρ→0Δz=lim⁡ρ→0(AΔx+BΔy+o(ρ))=0,\lim_{\rho\to0}\Delta z =\lim_{\rho\to0}\bigl(A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)\bigr)=0,

即 lim⁡(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=f(x0,y0)\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)。

再证偏导数存在。在定义中取 Δy=0\Delta y=0，此时 ρ=∣Δx∣\rho=|\Delta x|，

f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)=AΔx+o(∣Δx∣).f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)=A\Delta x+o(|\Delta x|).

两边除以 Δx\Delta x 并令 Δx→0\Delta x\to0，得 fx(x0,y0)=Af_x(x_0,y_0)=A；同理取 Δx=0\Delta x=0，得 fy(x0,y0)=Bf_y(x_0,y_0)=B。

这两个条件都只是可微的必要条件。连续不能保证偏导数存在，偏导数存在也不能保证连续，更不能保证可微。

可微的充分条件

若 fxf_x 与 fyf_y 在点 (x0,y0)(x_0,y_0) 的某邻域内存在，并且都在 (x0,y0)(x_0,y_0) 处连续，则 ff 在 (x0,y0)(x_0,y_0) 处可微。

证明

把全增量拆成两步，每步只让一个自变量变化：

Δz=[f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0+Δy)]+[f(x0,y0+Δy)−f(x0,y0)].\begin{aligned} \Delta z &=\bigl[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0+\Delta y)\bigr]\\ &\quad+\bigl[f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)\bigr]. \end{aligned}

第一个括号只让 xx 变化，对 xx 用拉格朗日中值定理：存在 θ1∈(0,1)\theta_1\in(0,1)，使

f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0+Δy)=fx(x0+θ1Δx,y0+Δy) Δx.f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0+\Delta y) =f_x(x_0+\theta_1\Delta x,y_0+\Delta y)\,\Delta x .

第二个括号只让 yy 变化，同理存在 θ2∈(0,1)\theta_2\in(0,1)，使

f(x0,y0+Δy)−f(x0,y0)=fy(x0,y0+θ2Δy) Δy.f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0) =f_y(x_0,y_0+\theta_2\Delta y)\,\Delta y .

由 fxf_x、fyf_y 在 (x0,y0)(x_0,y_0) 处连续，

fx(x0+θ1Δx,y0+Δy)=fx(x0,y0)+ε1,fy(x0,y0+θ2Δy)=fy(x0,y0)+ε2,f_x(x_0+\theta_1\Delta x,y_0+\Delta y)=f_x(x_0,y_0)+\varepsilon_1,\qquad f_y(x_0,y_0+\theta_2\Delta y)=f_y(x_0,y_0)+\varepsilon_2,

其中 ρ→0\rho\to0 时 ε1→0\varepsilon_1\to0、ε2→0\varepsilon_2\to0。于是

Δz=fx(x0,y0)Δx+fy(x0,y0)Δy+ε1Δx+ε2Δy.\Delta z=f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y +\varepsilon_1\Delta x+\varepsilon_2\Delta y .

因为 ∣Δx∣≤ρ|\Delta x|\le\rho、∣Δy∣≤ρ|\Delta y|\le\rho，

∣ε1Δx+ε2Δy∣≤(∣ε1∣+∣ε2∣)ρ=o(ρ),|\varepsilon_1\Delta x+\varepsilon_2\Delta y| \le(|\varepsilon_1|+|\varepsilon_2|)\rho=o(\rho),

所以 Δz=fxΔx+fyΔy+o(ρ)\Delta z=f_x\Delta x+f_y\Delta y+o(\rho)，即 ff 在 (x0,y0)(x_0,y_0) 处可微。

与一元函数的对比

关系一元函数 y=f(x)y=f(x)二元函数 z=f(x,y)z=f(x,y)
导数与连续可导必连续偏导数存在不能推出连续
导数与可微可导与可微等价可微推出偏导数存在，反之不成立
可微与连续可微必连续，连续不能推出可微可微必连续，连续不能推出可微

一元函数中可导与可微等价，所以三个概念只有“连续”和“可导”两层。二元函数中可微最强，它同时推出连续与偏导数存在；连续与偏导数存在之间互不蕴含，两个方向都有反例。例如 f(x,y)=∣x∣f(x,y)=|x| 处处连续，但 x=0x=0 处的 ∂z∂x\dfrac{\partial z}{\partial x} 不存在；下面的例子则给出偏导数存在却不连续的函数。一元函数的微分见微分与线性近似。

叠加原理

可微时 A=fxA=f_x、B=fyB=f_y，全微分可以拆成两个偏微分之和：

dz=fx dx+fy dy=dxz+dyz.\mathrm{d}z=f_x\,\mathrm{d}x+f_y\,\mathrm{d}y =\mathrm{d}_x z+\mathrm{d}_y z .

在 ρ\rho 足够小的范围内，两个自变量同时变化引起的函数值变化，可以近似看成每个自变量单独变化所引起的线性变化之和，这就是全微分的叠加原理。

来源：全微分

可微与连续、偏导数的三种关系排完；课程约定把记号与判断顺序收在一起。

课程约定

  • 教材用 Δxz\Delta_x z、Δyz\Delta_y z 记偏增量，用 dxz\mathrm{d}_x z、dyz\mathrm{d}_y z 记偏微分；全微分记作 dz=fx dx+fy dy\mathrm{d}z=f_x\,\mathrm{d}x+f_y\,\mathrm{d}y。
  • ρ=(Δx)2+(Δy)2\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}，定义中的 o(ρ)o(\rho) 是对 ρ→0\rho\to0 而言的高阶无穷小。
  • 一元与多元的三种关系要并排比较。记忆时只记一个方向：可微同时推出连续与偏导数存在；连续与偏导数存在之间互不蕴含。

易错点

  • 全增量一般不等于两个偏增量之和，两者相差的高阶无穷小不能省掉。
  • 偏导数存在既不能推出连续，也不能推出可微。像 xy/(x2+y2)xy/(x^2+y^2) 这样的反例要会自己构造并复述。
  • 使用充分条件时，要求偏导数在该点的某邻域内存在，并且在该点连续；只说“偏导数存在”不够。