9.6多元函数微分学的几何应用

设 $x(t)$、$y(t)$、$z(t)$ 是定义在区间 $I$ 上的实函数，则

称为一元向量值函数。它的自变量是实数 $t$，函数值是三维向量。随着 $t$ 变化，向量 $\mathbf r(t)$ 的终点描出空间中的一条曲线，$\mathbf r(t)$ 就是从原点指向该点的位置向量。

向量值函数的极限与连续按分量定义：

• 若三个分量函数的极限都存在，则 $$\lim_{t\to t_0}\mathbf r(t) =\left(\lim_{t\to t_0}x(t),\ \lim_{t\to t_0}y(t),\ \lim_{t\to t_0}z(t)\right);$$
• 若三个分量函数都在 $t_0$ 处连续，则 $\mathbf r(t)$ 在 $t_0$ 处连续。

若各分量均可导，$\mathbf r(t)$ 的导数（也称导向量）定义为

当 $\mathbf r'(t_0)\ne\mathbf 0$ 时，它是曲线在对应点处的切向量，方向指向 $t$ 增大的方向。若 $\mathbf r'(t_0)=\mathbf 0$，曲线在该点仍可能有切线，但不能直接把导向量当作切向量。

过曲线上点 $P_0$ 且方向为切向量 $\mathbf T$ 的直线，称为曲线在 $P_0$ 处的切线；过 $P_0$ 且垂直于切线的平面，称为法平面。法平面的法向量就是 $\mathbf T$，所以求出切向量后，两个方程都能立刻写出。

若曲线由

给出，点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 对应参数 $t_0$，则切向量为

切线方程为

法平面方程为

若曲线由两个曲面的交线给出：

且 $F$、$G$ 在 $P_0$ 附近具有连续偏导数，则曲线在 $P_0$ 处的切向量同时垂直于两个曲面的法向量

因此可取

设 $\mathbf T=(T_x,T_y,T_z)$，把参数方程情形中切线方程与法平面方程里的 $x'(t_0)$、$y'(t_0)$、$z'(t_0)$ 依次换成 $T_x$、$T_y$、$T_z$，就得到一般情形的两个方程。

过曲面上点 $P_0$ 且在该点与曲面相切的平面，称为切平面；过 $P_0$ 且垂直于切平面的直线，称为法线。切平面的法向量称为曲面在 $P_0$ 处的法向量。

设曲面由 $F(x,y,z)=0$ 给出，$F$ 在 $P_0$ 附近具有连续偏导数，且

则曲面在 $P_0$ 处的法向量为

切平面方程为

法线方程为

这里的 $\nabla F$ 就是 $F$ 的梯度，由三个偏导数组成。当 $\nabla F(P_0)=\mathbf 0$ 时，上述结论需要有额外的奇点分析，$P_0$ 可能是曲面上的奇点。

设曲面由 $z=f(x,y)$ 给出。令

就把显式曲面写成了隐式方程 $F=0$。此时

所以法向量为

切平面方程为

法线方程为