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课程笔记

8.6空间曲线及其方程

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学习安排

教材按“一般方程 → 参数方程 → 投影 → 截痕法应用”的顺序展开。先讲一般方程，是因为投影的消元法直接建立在“两个曲面方程联立”之上；参数方程插在中间，给螺旋线一个具体模型；最后用平面斜截圆柱面的例子把投影和截痕合起来用。

读这一节时先把消元的目标记清楚：消去哪个变量，投影柱面就属于剩下两个变量所张成的那个坐标面。截痕法在8.5已用于曲面，这里只是换成曲线所在的平面与柱面。

曲线的两种方程

一般方程

空间曲线 CC 通常看作两个曲面 S1S_1 与 S2S_2 的交线。设两曲面的方程分别为 F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0 与 G(x,y,z)=0G(x,y,z)=0，则

{F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0\begin{cases} F(x,y,z)=0,\\ G(x,y,z)=0 \end{cases}

称为曲线 CC 的一般方程。点 (x,y,z)(x,y,z) 在 CC 上，当且仅当它同时满足这两个方程，即同时位于两个曲面上。

两个曲面不能重合，否则交集是曲面而不是曲线。一般方程也不唯一：过曲线 CC 的任意两个曲面都可以组成 CC 的一般方程，取不同的曲面会得到不同的写法。

参数方程

把曲线上点的坐标写成同一个参数 tt 的函数：

{x=x(t),y=y(t),z=z(t),t∈[α,β].\begin{cases} x=x(t),\\ y=y(t),\\ z=z(t), \end{cases} \quad t\in[\alpha,\beta].

tt 通常代表时间或角度，tt 取遍 [α,β][\alpha,\beta] 时点 (x(t),y(t),z(t))(x(t),y(t),z(t)) 描出整条曲线。参数方程给出了点的运动顺序，一般方程只给出点必须同时满足的条件。

两种方程描述同一条曲线。常见的曲线可以互化：从参数方程消去 tt 可得一般方程；从一般方程解出 x,y,zx,y,z 关于某个参数的表达式，可得参数方程。参数方程不唯一，同一曲线可以用不同的参数写出，参数区间的取法也会影响曲线被描出的次数。

来源：空间曲线及其方程

两张曲面联立是这一节所有计算的起点：投影要在方程组上消元，截痕要在它上面代入平面。

投影柱面与投影曲线

设空间曲线 CC 的一般方程为

{F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0.\begin{cases} F(x,y,z)=0,\\ G(x,y,z)=0 . \end{cases}

从方程组中消去 zz，得到只含 x,yx,y 的方程

H(x,y)=0.H(x,y)=0 .

CC 上每一点的坐标都满足 H(x,y)=0H(x,y)=0，而 H(x,y)=0H(x,y)=0 在空间中表示一个母线平行于 zz 轴的柱面，CC 整个落在这个柱面上。这个柱面称为 CC 关于 OxyOxy 面的投影柱面。

投影柱面与 OxyOxy 面的交线就是 CC 在 OxyOxy 面上的投影曲线，其方程为

{H(x,y)=0,z=0.\begin{cases} H(x,y)=0,\\ z=0 . \end{cases}

投影曲线只含 x,yx,y 两个变量，是一条平面曲线。同理，消去 yy 得到关于 OxzOxz 面的投影柱面，再与 y=0y=0 联立得到 OxzOxz 面上的投影曲线；消去 xx 则对应 OyzOyz 面。

求投影曲线的步骤：

  1. 写出曲线的方程

    一般方程或参数方程都可以；用参数方程时，后面消去的是参数 tt。

  2. 消去一个变量

    求 OxyOxy 面上的投影时消去 zz：把两个方程联立消去 zz，得到只含 x,yx,y 的方程 H(x,y)=0H(x,y)=0。

  3. 与投影面联立

    把 H(x,y)=0H(x,y)=0 与 z=0z=0 写在一起，才是投影曲线的方程。

  4. 回代检验范围

    把结果代回原方程，确认哪些部分真正属于 CC，并注明 x,yx,y 的取值范围。

这与曲面的截痕法方向相反：截痕法用平面去截已知曲面，投影则把空间曲线压到一个坐标面上。两种手段常常一起用，先用截痕判断曲线的大致形状，再用投影写出它在坐标面上的方程。

来源：空间曲线及其方程

投影题先消元、再联立，两步分开写；合并成一步时最容易把柱面当成曲线交出去。

课程约定

  • 坐标面统一写成 OxyOxy、OxzOxz、OyzOyz，投影柱面与投影曲线都以这三个面命名。
  • 求投影固定两步：先从方程组消元得投影柱面，再与相应坐标面方程联立得投影曲线。两步分别写出。
  • 参数方程用 tt 作参数；螺旋线用转角 θ\theta 作参数，aa 是圆柱半径，bb 控制上升的快慢。

重点

  • 一般方程把曲线看成两曲面的交线，参数方程把曲线看成点的运动轨迹；同一曲线两种写法都成立。
  • 投影柱面是空间中的柱面，投影曲线是坐标面上的平面曲线，两者的方程只差一个坐标面方程。
  • 截痕法用来判断曲线的形状：用 z=z0z=z_0 去截，看交点存在范围与变化，再结合投影确认曲线类型。

易错点

  • 消元只得到必要条件：H(x,y)=0H(x,y)=0 上的点不一定在曲线上，必要时把结果代回原方程检验。
  • 不要把投影柱面当成投影曲线；只写 H(x,y)=0H(x,y)=0，答案还停在三维空间里。
  • 消去 xx、yy、zz 分别对应 OyzOyz、OxzOxz、OxyOxy 面，容易记错方向。
  • 螺旋线参数方程中的 bb 不是螺距；转一周 θ\theta 增加 2π2\pi，上升高度是 2π∣b∣2\pi\vert b\vert。
  • 一般方程与参数方程都不唯一，同一曲线可以写出多组方程，不能凭写法不同判断是两条曲线。

复习要点

做投影题时按“消元、联立、检验”三步走，先把投影柱面写出来，再补坐标面方程。判断曲线形状时先用截痕法看有没有闭合、在哪个方向被拉长，再用投影核对坐标面上的轮廓；平面斜截圆柱得到的椭圆就是这样确认的，它的投影是圆，但曲线本身不是圆。