课程笔记

1.7等价无穷小

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基本等价与替换原则

基本等价

这组关系是极限计算的基础，需要熟练记忆。它们都可以由泰勒展开取最低阶非零项得到。

类别	等价关系（ $x\to 0$ ）	说明
幂函数类	$x\sim\sin x\sim\tan x$	三角函数与自变量等价，是最常用的替换（如 $\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin 2x}{x}=2$ ）
指数函数类	$e^x-1\sim x$	核心是“指数减1”的形式；底数不是 $e$ 时可变形为 $a^x-1\sim x\ln a$ （ $a>0$ ， $a\ne 1$ ）
对数函数类	$\ln(1+x)\sim x$	核心是“ $\ln(1+\text{自变量})$ ”的形式；可逆用 $x\sim\ln(1+x)$ （如 $\lim_{x \to 0}\dfrac{x}{\ln(1+3x)}=\dfrac{1}{3}$ ）
幂函数类	$(1+x)^a-1\sim ax$	广义二项式等价， $a$ 为任意实数，如 $\sqrt{1+x}-1\sim\dfrac{1}{2}x$ ， $\dfrac{1}{1+x}-1\sim -x$
三角函数类	$1-\cos x\sim\dfrac{1}{2}x^2$	余弦的“1减余弦”形式，等价于二次项；因为 $\cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+o(x^2)$ ，余项 $o(x^2)$ 可忽略
反三角函数类	$\arcsin x\sim x$ ， $\arctan x\sim x$	反三角函数与自变量等价，本质是原函数与反函数在原点附近的线性近似一致（如 $\lim_{x \to 0}\dfrac{\arctan 5x}{x}=5$ ）

扩展等价

这组关系由泰勒展开取更高阶项，或由基本等价关系组合得到；当分子分母都是高阶无穷小时使用，余项 $o(x^n)$ 可忽略。

函数类型	等价关系（ $x\to 0$ ）	泰勒展开依据
指数函数扩展	$e^x-1-x\sim\dfrac{1}{2}x^2$	$e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+o(x^2)$
指数函数扩展	$e^x-1-x-\dfrac{1}{2}x^2\sim\dfrac{1}{6}x^3$	$e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+o(x^3)$
对数函数扩展	$x-\ln(1+x)\sim\dfrac{1}{2}x^2$	$\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)$
对数函数扩展	$x-\ln(1+x)-\dfrac{1}{2}x^2\sim-\dfrac{1}{3}x^3$	同上，取到三阶项
三角函数扩展	$\sin x-x\sim-\dfrac{1}{6}x^3$	$\sin x=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}+o(x^5)$
三角函数扩展	$\tan x-x\sim\dfrac{1}{3}x^3$	$\tan x=x+\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{2x^5}{15}+o(x^5)$
三角函数扩展	$\tan x-\sin x\sim\dfrac{1}{2}x^3$	由 $\tan x-\sin x=\dfrac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x}$ ，代入基本等价无穷小推导
反三角函数扩展	$x-\arcsin x\sim-\dfrac{1}{6}x^3$	$\arcsin x=x+\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{3x^5}{40}+o(x^5)$
反三角函数扩展	$x-\arctan x\sim\dfrac{1}{3}x^3$	$\arctan x=x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}+o(x^5)$
双曲函数类	$\sinh x\sim x$ ， $\cosh x-1\sim\dfrac{1}{2}x^2$	$\sinh x=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$ ， $\cosh x=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$ ，泰勒展开后比较

替换原则

等价无穷小不能随意替换：替换只保证主部不变，被丢掉的低阶项在加减法中可能正是主部。

乘积与商可以替换

若 $\alpha\sim\alpha'$ ， $\beta\sim\beta'$ ，则

\alpha\beta\sim\alpha'\beta',\qquad \frac{\alpha}{\beta}\sim\frac{\alpha'}{\beta'}.

后者要求 $\lim\dfrac{\alpha'}{\beta'}$ 存在或为 $\infty$ 。

证明

由等价关系的定义，

\frac{\alpha\beta}{\alpha'\beta'} =\frac{\alpha}{\alpha'}\cdot\frac{\beta}{\beta'}\to 1,

所以 $\alpha\beta\sim\alpha'\beta'$ 。同理

\frac{\alpha/\beta}{\alpha'/\beta'} =\frac{\alpha}{\alpha'}\cdot\frac{\beta'}{\beta}\to 1.

和差不能直接逐项替换

若 $\alpha\sim\beta$ ，即两者的比值趋于 $1$ ，则 $\alpha-\beta$ 是比它们更高阶的无穷小。把 $\alpha$ 、 $\beta$ 各自替换成等价量，会把这个差直接变成 $0$ ，丢掉真正的主部。

例如 $\tan x\sim x$ 、 $\sin x\sim x$ ，但

\lim_{x \to 0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3} =\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{2}x^3}{x^3} =\frac{1}{2}\ne 0.

若把两者都替换成 $x$ ，会错误地得到 $0$ 。正确做法是使用扩展等价 $\tan x-\sin x\sim\dfrac{1}{2}x^3$ ，或直接用泰勒展开。

复合函数的替换

若 $t\to 0$ 时 $f(t)\sim g(t)$ ，且 $x\to x_0$ 时 $u(x)\to 0$ ，则

f(u(x))\sim g(u(x)).

因为 $\dfrac{f(u(x))}{g(u(x))}$ 就是 $\dfrac{f(t)}{g(t)}$ 在 $t=u(x)$ 处的取值，极限仍为 $1$ 。

精度匹配

若分子分母都是 $n$ 阶无穷小，替换后的等价无穷小至少要保留到 $n$ 阶，否则会丢掉决定极限值的项。例如在 $\dfrac{e^x-1-x}{x^2}$ 中，只用 $e^x-1\sim x$ 会把分子换成 $0$ ，无法判断；应使用二阶等价 $e^x-1-x\sim\dfrac{1}{2}x^2$ 。

与泰勒展开的关系

等价无穷小是泰勒展开的最低阶截断： $f(x)$ 等价于其展开式的第一个非零项。因此当替换失效，尤其是和差或需要高阶精度时，直接展开到与分母同阶即可，这是更通用的做法。

来源：等价无穷小

表里的等价关系都默认 $x\to 0$ ；查表前先确认趋近方式，基本表要求默写，扩展表按分母的阶数现查。

本课程判断替换的顺序是：先看这一项处在乘积、商还是和差中，再看分母需要几阶精度；拿不准时回到泰勒展开。

学习安排

教材把等价无穷小安排在两个重要极限之后：基本表里的 $\sin x\sim x$ 与第一个重要极限是同一结论的两种写法，扩展表则由泰勒展开取低阶项得到。这一节宜先背基本表，再用“能否拆成乘积或商”决定是否替换，最后才处理需要高阶精度的和差。

下一步的洛必达法则与泰勒展开都能替代本节的部分工作；等价无穷小胜在快，适合结构简单、只涉及乘除的极限。

课程约定

本节所有等价关系默认 $x\to0$ 。遇到 $x\to\infty$ 或 $x\to x_0$ 先换元，把趋近方式化到 $0$ 再查表。
基本表要求默写；扩展表不要求全背，但要知道它来自泰勒展开，并能按需展开到与分母同阶。
改写时保留原来的趋近方式，不把 $x\to1$ 时的 $\ln x$ 直接写成 $x$ ；正确做法是令 $u=x-1$ ，用 $\ln(1+u)\sim u$ 。

易错点

和差不能直接替换： $\dfrac{\tan x-\sin x}{x^3}$ 中把两者都换成 $x$ 会得到 $0$ ，正确结果是 $\dfrac{1}{2}$ 。
精度不匹配： $\dfrac{e^x-1-x}{x^2}$ 只用 $e^x-1\sim x$ 会把分子换成 $0$ ，必须用二阶等价 $\dfrac{1}{2}x^2$ 。
替换后要检查新极限是否存在或为无穷，商法则的前提不能丢。

复习要点

口诀：低阶替换、乘积可用、和差慎用。拿不准时回到泰勒展开，按分母的阶数决定展开到第几项。