1.8函数的连续性与间断点

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设函数 $f$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义。若

\lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0),

则称 $f$ 在 $x_0$ 处连续。

这个等式同时要求三件事： $f(x_0)$ 有定义， $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在，并且极限值等于函数值。三者缺一不可。

记 $\Delta x=x-x_0$ ， $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ ，则连续性也等价于

\lim_{\Delta x \to 0}\Delta y=0.

也就是说，自变量的微小变化只会引起函数值的微小变化。

若 $f$ 在开区间 $(a,b)$ 内每一点都连续，则称 $f$ 在 $(a,b)$ 内连续。

若 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上有定义，且满足

则称 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续。端点处只要求单侧连续，是因为函数在区间外可能没有定义。

教材把连续性与间断点放在同一节，是因为判定间断点本质上仍是在算极限。先确认连续的三条件，再按左右极限把间断点分成第一类与第二类。

设函数 $f$ 在点 $x_0$ 的某个去心邻域内有定义。若 $f$ 在 $x_0$ 处不连续，则称 $x_0$ 为 $f$ 的间断点。

判断间断点只看两条： $\lim_{x \to x_0^-}f(x)$ 与 $\lim_{x \to x_0^+}f(x)$ 是否都存在。按这一点，间断点分为两类。

类别	条件	细分	典型例子
第一类间断点	左右极限都存在	左右极限相等但不等于函数值（或函数值不存在）：可去间断点	$\dfrac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$ 处
		左右极限不相等：跳跃间断点	$\operatorname{sgn}(x)$ 在 $x=0$ 处
第二类间断点	至少一个单侧极限不存在	至少一个单侧极限为 $\pm\infty$ ：无穷间断点	$\dfrac{1}{x^2}$ 在 $x=0$ 处
		极限不存在且不趋于无穷：振荡间断点	$\sin\dfrac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处

可去间断点是最容易误判的一类：极限存在，但函数值不存在，或者函数值与极限不相等。补上或改掉这一点函数值，就能把间断点变成连续点，这也是“可去”一名的来源。

分类表不必先背。拿到分段函数，先算函数值，再分别算左右极限，最后按“是否存在、是否相等、是否等于函数值”的顺序判断。

本节的重点是能够在分段点处独立完成“算函数值、算左右极限、比较”的流程。最后用 $|x|$ 在 $x=0$ 处的例子区分“连续”和“可导”，分类表可以在做完判定后再回看。

判断间断点类型时，先看左右极限是否存在，再看是否相等，最后才看函数值。这个顺序能避免把可去间断点误判成跳跃间断点。

回到 $|x|$ 在 $x=0$ 处的例子检查两个方向的命题：函数连续，但左右导数不相等，所以不可导；因此可导必定连续，连续却不一定可导。