课程笔记

4.3分部积分法

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分部积分法

分部积分公式

设 $u=u(x)$ 与 $v=v(x)$ 都在区间 $I$ 上可导。由乘积的求导法则

[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x),

移项并在两边求不定积分，得到分部积分公式

\int u(x)\,\mathrm{d}v(x)=u(x)v(x)-\int v(x)\,\mathrm{d}u(x),

写成展开形式为

\int u(x)v'(x)\,\mathrm{d}x =u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x.

公式把积分 $\int u\,\mathrm{d}v$ 换成了积分 $\int v\,\mathrm{d}u$ ，所以它并不直接算出结果，而是把问题转成另一个积分。只有当新的积分更容易求时，这个替换才有意义——这正是选择 $u$ 与 $\mathrm{d}v$ 时要争取的效果。

使用条件

公式要求 $u$ 、 $v$ 可导，且右端的 $\int v\,\mathrm{d}u$ 存在。求 $v$ 时任取 $\mathrm{d}v$ 的一个原函数即可：不同的原函数只差一个常数，这个常数只会改变最终结果中的常数项，不影响积分能否求出。

来源：分部积分法

公式由乘积求导法则移项得到；“课程约定”里的口诀只回答分组问题，公式本身仍要能自己写出来。

选择 $u$ 与 $\mathrm{d}v$

分组是否恰当决定分部积分能否奏效。理想的选择要同时满足两点：

$u$ 求导后更简单。 幂函数求导降次，对数函数与反三角函数求导后化为有理函数，求导能使复杂因子消失。
$\mathrm{d}v$ 容易积分。 要能立刻写出 $v=\int \mathrm{d}v$ ，例如指数函数、正弦、余弦。

这两条常常互相冲突：对数函数求导变简单却不容易积分，指数函数恰好相反。口诀就是用来打破僵局的。

口诀“反对幂三指”

在一个乘积中，按下列顺序从高到低排列，排在最前的函数取作 $u$ ，其余部分连同 $\mathrm{d}x$ 一起作为 $\mathrm{d}v$ 。

顺序	类型	典型函数	处理
反	反三角函数	$\arctan x$ ， $\arcsin x$	取作 $u$
对	对数函数	$\ln x$	取作 $u$
幂	幂函数	$x^n$ ， $\dfrac{1}{x^n}$	通常取作 $u$
三	三角函数	$\sin x$ ， $\cos x$	通常取作 $\mathrm{d}v$
指	指数函数	$e^{ax}$ ， $a^x$	取作 $\mathrm{d}v$

例如 $\int x\ln x\,\mathrm{d}x$ 中，“对”优先于“幂”，所以取 $u=\ln x$ 、 $\mathrm{d}v=x\,\mathrm{d}x$ ； $\int x^2e^x\,\mathrm{d}x$ 中，“幂”优先于“指”，所以取 $u=x^2$ 、 $\mathrm{d}v=e^x\,\mathrm{d}x$ 。

三类常见形态

对数或反三角乘幂函数：一次分部就把 $u$ 化成有理函数，剩下的积分用凑微分处理。
幂函数乘指数或三角函数：每分部一次幂函数的次数降低一次， $x^n$ 需要连续做 $n$ 次，直到幂函数变成常数。
指数函数乘三角函数：降次行不通，两次分部后右端重新出现原积分，于是把原积分当作未知量，解一次方程。

定积分的分部积分

设 $u(x)$ 、 $v(x)$ 在 $[a,b]$ 上具有连续导数，则

\int_a^b u(x)v'(x)\,\mathrm{d}x=[u(x)v(x)]_a^b-\int_a^b v(x)u'(x)\,\mathrm{d}x,

简写为

\int_a^b u\,\mathrm{d}v=[uv]_a^b-\int_a^b v\,\mathrm{d}u.

选取 $u$ 与 $\mathrm{d}v$

把被积表达式看成两类函数的乘积。优先选择求导后会简化的因子作 $u$ ，其余部分连同 $\mathrm{d}x$ 作为 $\mathrm{d}v$ ；口诀只能作为选取的提示。
求 $v$ 与 $\mathrm{d}u$

对 $\mathrm{d}v$ 积分得 $v$ ，对 $u$ 求导得 $\mathrm{d}u$ 。 $v$ 只取一个原函数，不加任意常数。
代入公式

先算边界项 $[uv]_a^b$ ，再处理 $\int_a^b v\,\mathrm{d}u$ 。边界项必须在这一步就代入上下限，不能留到最后。

来源：分部积分法

口诀在“课程约定”里只写成一句顺序；真正决定成败的是“重点与易错点”里的三类形态，循环型要单独练。

学习安排

第四章先列基本积分公式，再讲换元，4.3才引入分部积分。教材的编排是：先从乘积求导法则推出公式，再讨论怎样选择 $u$ 与 $\mathrm{d}v$ ，最后按被积函数的类型分三类举例——对数或反三角乘幂函数、幂函数乘指数或三角函数、指数函数乘三角函数。

阅读时先自己推一遍公式，再对照口诀做例题。前两类靠“求导后变简单”和“降次”收敛；第三类不能降次，要解方程，方法上要单独记。

4.4处理有理函数，遇到二次因式的高次幂时，仍会用分部积分导出递推公式。

课程约定

选 $u$ 用口诀“反对幂三指”：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数，排在前面的取作 $u$ ，剩下的整体作为 $\mathrm{d}v$ 。
单独出现的 $\ln x$ 、 $\arctan x$ 按乘 $1$ 处理，取 $\mathrm{d}v=\mathrm{d}x$ 。
循环型做两次分部时，两次都取三角函数作 $u$ （原笔记的做法）；两次都取指数函数也可以，但不能中途换类。

易错点

分部之后得到的新积分必须比原积分简单；如果反而更复杂，说明分组选反了，应交换 $u$ 与 $\mathrm{d}v$ 重来。
幂函数乘指数或三角函数时， $x^n$ 要分部 $n$ 次，做到幂函数变成常数为止；中途停下会留下未完成的积分。
循环型两次分部换类，会把原积分原样搬回等式右边，得不到关于 $I$ 的方程。
定积分做分部时， $uv$ 这一项要带上下限，写成 $[uv]_a^b$ 之后再减去后面的积分；漏掉上下限是最常见的丢分点。
不定积分最后补 $+C$ ，循环型解出 $I$ 之后同样要补。

复习要点

复习时把三类各做一道就够： $\int x\ln x\,\mathrm{d}x$ 练口诀与一次分部， $\int x^2e^x\,\mathrm{d}x$ 练连续降次， $\int e^x\sin x\,\mathrm{d}x$ 练解方程。判断要不要用分部，先看被积函数是不是两类不同函数相乘、又凑不出微分。