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课程笔记

10.2二重积分的计算法

6 分钟阅读

累次积分

累次积分是依次对不同变量求定积分：内层积分先把外层变量看成参数，得到一个关于外层变量的函数，再进行外层积分。例如

∫ab[∫cdf(x,y) dy]dx\int_a^b\left[\int_c^d f(x,y)\,\mathrm dy\right]\mathrm dx

先对 yy 积分，再对 xx 积分。累次积分与特定二重积分的等价关系还依赖积分区域和适用条件，见二重积分的直角坐标计算。

来源：累次积分

内层积分先固定外层变量。把二重积分化成累次积分时，还要按区域确定积分限。

直角坐标计算

在直角坐标下 dσ=dx dy\mathrm d\sigma=\mathrm dx\,\mathrm dy。把二重积分写成累次积分时，哪一层在内、哪一层在外由区域的形状决定，按外层积分变量把区域分成两类。

X型区域

若 DD 可以表示为

D={(x,y):a≤x≤b, φ1(x)≤y≤φ2(x)},D=\{(x,y):a\le x\le b,\ \varphi_1(x)\le y\le\varphi_2(x)\},

即左、右边界分别是竖直线 x=ax=a 与 x=bx=b，下、上边界分别是连续曲线 y=φ1(x)y=\varphi_1(x) 与 y=φ2(x)y=\varphi_2(x)，则

∬Df(x,y) dσ=∫ab[∫φ1(x)φ2(x)f(x,y) dy]dx.\iint_D f(x,y)\,\mathrm d\sigma=\int_a^b\left[\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)\,\mathrm dy\right]\mathrm dx .

这是先对 yy、后对 xx 的累次积分，也称二次积分。

Y型区域

若 DD 可以表示为

D={(x,y):c≤y≤d, ψ1(y)≤x≤ψ2(y)},D=\{(x,y):c\le y\le d,\ \psi_1(y)\le x\le\psi_2(y)\},

即下、上边界分别是水平线 y=cy=c 与 y=dy=d，左、右边界分别是连续曲线 x=ψ1(y)x=\psi_1(y) 与 x=ψ2(y)x=\psi_2(y)，则

∬Df(x,y) dσ=∫cd[∫ψ1(y)ψ2(y)f(x,y) dx]dy.\iint_D f(x,y)\,\mathrm d\sigma=\int_c^d\left[\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)\,\mathrm dx\right]\mathrm dy .

交换积分次序

同一个二重积分可以按X型或Y型两种次序计算。有时某一次序下的内层积分积不出来（例如被积函数含 e−y2e^{-y^2}），换一次序就能积。交换次序按下面的步骤进行：

  1. 由上下限还原区域

    从原来的累次积分读出 DD 的不等式表示，画出 DD 的图形。

  2. 改写为另一种类型

    把同一个 DD 重新表示为新次序下的不等式组，得到新的上下限。

  3. 写出新次序的累次积分

    被积函数不变，按新次序安排内层与外层。

来源：二重积分的直角坐标计算

交换次序时先从原积分限还原区域，再根据新的切片方向重新定限。区域无法用一组上下限表示时，先分块。

极坐标计算

适用场景

当 DD 的边界由圆弧、射线组成，或者被积函数含 x2+y2x^2+y^2、yx\dfrac yx 等形式时，用极坐标通常更简单。

变换与面积元素

极坐标与直角坐标的关系为

x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θ,r≥0.x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad r\ge0 .

这个变换的雅可比行列式是

∂(x,y)∂(r,θ)=r,\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}=r ,

于是

dσ=dx dy=r dr dθ.\mathrm d\sigma=\mathrm dx\,\mathrm dy=r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta .

面积元素中多出的因子 rr 来自坐标变换，不能漏写。

极坐标下的公式

若区域可以沿每条选定射线写成单个径向区间，且角度范围不重复覆盖区域，即

D={(r,θ):α≤θ≤β, r1(θ)≤r≤r2(θ)},D=\{(r,\theta):\alpha\le\theta\le\beta,\ r_1(\theta)\le r\le r_2(\theta)\},

则

∬Df(x,y) dσ=∫αβ[∫r1(θ)r2(θ)f(rcos⁡θ,rsin⁡θ) r dr]dθ.\iint_D f(x,y)\,\mathrm d\sigma=\int_\alpha^\beta\left[\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,\mathrm dr\right]\mathrm d\theta .

两类常见区域

极点在区域外部且各射线与区域的交集为单个区间。 此时 θ\theta 从 α\alpha 变到 β\beta，rr 从内边界 r1(θ)r_1(\theta) 变到外边界 r2(θ)r_2(\theta)，直接使用上面的公式。

极点在区域内部且区域关于极点是星形。 若 DD 的边界曲线为 r=r(θ)r=r(\theta)，极角范围是 0≤θ≤2π0\le\theta\le2\pi，则内层积分的下限为 r=0r=0，公式简化为

∬Df(x,y) dσ=∫02π[∫0r(θ)f(rcos⁡θ,rsin⁡θ) r dr]dθ.\iint_D f(x,y)\,\mathrm d\sigma=\int_0^{2\pi}\left[\int_0^{r(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,\mathrm dr\right]\mathrm d\theta .

特别地，DD 是以原点为圆心、RR 为半径的圆域时 r(θ)=Rr(\theta)=R，此时

∬Df(x,y) dσ=∫02π[∫0Rf(rcos⁡θ,rsin⁡θ) r dr]dθ.\iint_D f(x,y)\,\mathrm d\sigma=\int_0^{2\pi}\left[\int_0^R f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,\mathrm dr\right]\mathrm d\theta .

极点在边界上时，若所取射线与区域的交集都从极点开始，rr 的下限为 00，θ\theta 只覆盖区域张开的角。例如 x2+y2≤2xx^2+y^2\le2x 的边界为 r=2cos⁡θr=2\cos\theta，对应 −π2≤θ≤π2-\dfrac\pi2\le\theta\le\dfrac\pi2。不满足单区间条件的区域需要分块。

来源：二重积分的极坐标计算

换元时同时替换被积函数、区域和面积元素。选择的角度范围应覆盖区域一次；径向交集不连续时需要分块，不能仅凭极点的位置断定积分限。