课程笔记

7.3齐次方程

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一阶微分方程

y'=f(x,y)

如果存在函数 $\varphi$ ，使得在 $x\ne 0$ 时

f(x,y)=\varphi\left(\frac{y}{x}\right),

则称它为齐次方程。写成 $\varphi\left(\dfrac{x}{y}\right)$ 也可以，因为 $\dfrac{x}{y}=1\big/\dfrac{y}{x}$ ，两种写法只差对 $\varphi$ 的重新定义。

等价的判定是： $f$ 为零次齐次函数，即对任意 $\lambda\ne 0$ ，

f(\lambda x,\lambda y)=f(x,y).

实际操作时，检查分子、分母中每一项关于 $x$ 与 $y$ 的总次数是否相同。例如

y'=\frac{x^2+y^2}{xy}

中，分子两项都是二次，分母 $xy$ 也是 $1+1=2$ 次；右端可写成

\frac{x}{y}+\frac{y}{x},

符合齐次方程的形式。

分子或分母中出现单独常数项时，方程一般不再是齐次方程，需要先尝试下文的平移变换。

定义这一段给了两种判定：能写成 $\varphi\left(\dfrac{y}{x}\right)$ ，或右端是零次齐次函数；两种说法在作业里都会出现。

确认形式

把方程整理成 $y'=\varphi\left(\dfrac{y}{x}\right)$ ，并确认讨论区间上 $x\ne 0$ 。
换元

令 $u=\dfrac{y}{x}$ ，即 $y=ux$ 。
求导

由乘积求导法则，
$y'=u+x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}.$
代入并整理

将 $y'$ 与 $\dfrac{y}{x}$ 分别换成上式与 $u$ ：
$u+x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\varphi(u), \qquad x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\varphi(u)-u.$
分离变量并积分

当 $\varphi(u)-u\ne 0$ 时，
$\frac{\mathrm{d}u}{\varphi(u)-u}=\frac{\mathrm{d}x}{x},$
两边积分得到关于 $u$ 与 $x$ 的关系。
还原变量

把 $u$ 换回 $\dfrac{y}{x}$ ，整理成显式或隐式解。

换元后的方程关于 $u$ 与 $x$ 可分离，按可分离变量的微分方程的步骤积分即可。

形如

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}

的方程，在 $c_1,c_2$ 不全为零时，可以通过平移坐标轴消去常数项，化为齐次方程。

先解方程组

\begin{cases} a_1x+b_1y+c_1=0,\\ a_2x+b_2y+c_2=0, \end{cases}

设交点为 $(h,k)$ 。令

X=x-h,\qquad Y=y-k,

则 $x=X+h$ 、 $y=Y+k$ ，代入后常数项抵消，方程变为

\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X} =\frac{a_1X+b_1Y}{a_2X+b_2Y},

这是关于 $X,Y$ 的齐次方程。求出解后，再把 $X=x-h$ 、 $Y=y-k$ 代回。

步骤表里的还原变量是本节最常丢的一步；“易错点”把它列在最后一条，检查答案时对着看。

7.3排在7.2之后，因为齐次方程没有独立于分离变量法的新解法：换元 $u=\dfrac{y}{x}$ 只是把方程改造成7.2的形式。教材的顺序是定义与判断、换元步骤、完整例题，最后补充可化为齐次的平移法。

复习时把三步分开检查：能不能化成 $\varphi\left(\dfrac{y}{x}\right)$ 、换元后有没有得到可分离方程、最后有没有还原 $u$ 。可化为齐次的部分先看两条直线是否相交，再决定用平移还是整体换元。

把这里的“齐次”与线性齐次方程 $y'+p(x)y=0$ 混为一谈。这里要求右端是零次齐次函数。
换元时只把 $y$ 换成 $ux$ ，忘记 $y'$ 也要换成 $u+xu'$ ，导致方程里同时出现 $y'$ 和 $u$ 。
分离时除以 $\varphi(u)-u$ ，漏掉 $\varphi(u)=u$ 对应的直线解 $y=u_0x$ 。
遇到 $\dfrac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}$ 直接平移，不先检查两条直线是否相交；平行时平移法失效，要改用 $z=a_1x+b_1y$ 。
算出 $u$ 的关系就停手，忘记还原变量。