12.2常数项级数的审敛法

设 $\sum u_n$ 与 $\sum v_n$ 都是正项级数，且存在正整数 $N$，当 $n\ge N$ 时 $u_n\le v_n$。则

1. 若 $\sum v_n$ 收敛，则 $\sum u_n$ 也收敛；
2. 若 $\sum u_n$ 发散，则 $\sum v_n$ 也发散。

简记为：大的收敛则小的收敛，小的发散则大的发散。

比较时只需从某一项之后成立，前有限项不影响敛散性。常用的比较对象是 $p$ 级数：

若存在常数 $C>0$ 使 $n\ge N$ 时 $u_n\le Cv_n$，则 $\sum v_n$ 收敛时 $\sum u_n$ 也收敛；若反向有 $u_n\ge cv_n$（$c>0$），则 $\sum v_n$ 发散时 $\sum u_n$ 也发散。两个方向同时成立，即

时，两级数同敛散。

设 $\sum u_n$ 与 $\sum v_n$ 都是正项级数，且 $v_n>0$。若

则两级数同敛散。

特别地：

• 若 $l=0$ 且 $\sum v_n$ 收敛，则 $\sum u_n$ 收敛；
• 若 $l=+\infty$ 且 $\sum v_n$ 发散，则 $\sum u_n$ 发散。

极限形式不必逐项验证不等式，只需算两个通项之比的极限，因此比直接比较更常用。

设 $\sum u_n$ 是正项级数（$u_n>0$），若

则

1. 当 $\rho<1$ 时，级数收敛；
2. 当 $\rho>1$（或 $\rho=+\infty$）时，级数发散；
3. 当 $\rho=1$ 时，此方法失效，级数可能收敛也可能发散。

比值审敛法也称达朗贝尔判别法，对通项含阶乘 $n!$、幂 $a^n$ 等乘积结构的级数特别有效，因为相邻两项相除能大量约去公因子。

设 $\sum u_n$ 是正项级数（$u_n\ge0$），若

则

1. 当 $\rho<1$ 时，级数收敛；
2. 当 $\rho>1$（或 $\rho=+\infty$）时，级数发散；
3. 当 $\rho=1$ 时，此方法失效。

根值审敛法也称柯西判别法，对通项本身是 $n$ 次幂的级数特别有效：开 $n$ 次方后底数直接显现。$\rho<1$ 时，同样由 $u_n<q^n$（$q$ 满足 $\rho<q<1$）与等比级数比较得到收敛。

设 $\sum u_n$ 是正项级数。若

则级数 $\sum u_n$ 发散。

更一般地，若

则当 $p>1$ 时级数收敛，当 $p\le1$ 时级数发散。

其本质是取 $v_n=\dfrac1{n^p}$ 作比较对象，用比较审敛法的极限形式：此时 $\dfrac{u_n}{v_n}=n^pu_n\to l$，两级数同敛散，而 $p$ 级数在 $p>1$ 时收敛、$p\le1$ 时发散。

正负项交替出现的级数称为交错级数，一般形式为

或

其中 $u_n>0$。

若交错级数 $\sum(-1)^{n-1}u_n$（$u_n>0$）满足

1. 数列 $\{u_n\}$ 单调递减，即 $u_{n+1}\le u_n$（$n=1,2,3,\dots$）；
2. $\lim_{n\to\infty}u_n=0$，

则该交错级数收敛，且其和 $s\le u_1$，余项满足

满足这两个条件的交错级数也称为莱布尼茨级数。

对一般级数 $\sum u_n$（$u_n$ 可正可负），考察各项取绝对值后得到的正项级数 $\sum|u_n|$：

• 若 $\sum|u_n|$ 收敛，则称 $\sum u_n$ 绝对收敛；
• 若 $\sum u_n$ 收敛，但 $\sum|u_n|$ 发散，则称 $\sum u_n$ 条件收敛。

定理：若级数 $\sum u_n$ 绝对收敛，则 $\sum u_n$ 必定收敛。

例如，$\sum\dfrac{(-1)^{n-1}}{n^2}$ 绝对收敛，因为 $\sum\dfrac1{n^2}$ 是 $p=2$ 的收敛的 $p$ 级数；$\sum\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}$ 条件收敛。判断条件收敛要两步：先证原级数收敛，再证绝对值级数发散。

设两个级数分别为 $\sum u_n$ 与 $\sum v_n$。构造级数 $\sum w_n$，其中

级数 $\sum w_n$ 称为 $\sum u_n$ 与 $\sum v_n$ 的柯西乘积。它的第 $n$ 项把所有下标之和为 $n+1$ 的乘积 $u_iv_j$ 汇总在一起。

若两个级数都收敛，且至少一个绝对收敛，则柯西乘积收敛，其和等于两个级数的和的乘积。仅有两个级数收敛不足以保证柯西乘积收敛。