8.2数量积、向量积与混合积

设 $\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3)$、$\mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3)$、$\mathbf{c}=(c_1,c_2,c_3)$，$\theta$ 是非零向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角。

两个向量的数量积（点积、内积）是一个数：

只要有一个因子是零向量，数量积规定为 $0$。在坐标下

它的几何意义是“一个向量的模乘以另一个向量在它方向上的投影”：

其中投影的定义见向量及其线性运算。恒力 $\mathbf{F}$ 沿位移 $\mathbf{s}$ 做的功就是 $W=\mathbf{F}\cdot\mathbf{s}$，这是数量积最直接的物理来源。

设 $\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3)$、$\mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3)$、$\mathbf{c}=(c_1,c_2,c_3)$，$\theta$ 是非零向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角。

两个向量的向量积（叉积、外积）是一个向量 $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$，由模和方向共同确定：

1. 模 $|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|=|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\sin\theta$，等于以 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 为邻边的平行四边形的面积；
2. 方向同时垂直于 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$，并且 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ 依次构成右手系，这就是右手定则。

$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\mathbf{0}$ 当且仅当 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 共线，包括其中一个是零向量的情形。

坐标公式是形式行列式，按第一行展开：

设 $\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3)$、$\mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3)$、$\mathbf{c}=(c_1,c_2,c_3)$，$\theta$ 是非零向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角。

三个向量的混合积是一个数：

坐标公式是三阶行列式：

它的绝对值等于以 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ 为棱的平行六面体的体积。$[\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c}]>0$ 当且仅当 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ 依次构成右手系；混合积等于 $0$ 时三个向量共面。以这三个向量为棱的四面体体积为 $\frac16|[\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c}]|$。

后一条是柯西不等式。由定义还能得到两个常用判据：

第一条是反交换律：交换两个因子，结果反向。最后一条说明向量积的结果确实同时垂直于两个因子。模还满足拉格朗日恒等式

代入 $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\cos\theta$ 即得 $|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|=|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\sin\theta$，与几何定义一致；证明见下文。

向量积的两个直接用途：结果向量是同时垂直于 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 的法方向，单位化后可作为法向量；它的模给出平行四边形面积，三角形面积为 $\frac12|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|$。需要单位法向量时，把 $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ 除以它的模，方向由右手定则确定；若题目要求指向某一侧，整体取反即可，不要改动两个因子的顺序。

轮换三个向量不改变混合积，交换任意两个向量则改变符号；这个符号差异来自行列式交换两行变号。又因为

叉积的位置也可以轮换。由此得到共面判据：