10.3三重积分

把 $\Omega$ 任意分成 $n$ 个小闭区域 $\Delta v_1,\Delta v_2,\dots,\Delta v_n$，记号 $\Delta v_i$ 既表示第 $i$ 个小闭区域，也表示它的体积。在每个 $\Delta v_i$ 内任取一点 $(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$，作和式

记 $\lambda$ 为各小闭区域直径的最大值。若 $\lambda\to0$ 时上述和式的极限存在，且极限值与 $\Omega$ 的划分方式、取点方式都无关，则称此极限为 $f(x,y,z)$ 在空间闭区域 $\Omega$ 上的三重积分，记作

其中 $\Omega$ 是积分区域，$f(x,y,z)$ 是被积函数，$\mathrm dv$ 是体积元素。

若空间物体占有区域 $\Omega$，体密度为 $\rho(x,y,z)$，则物体的质量为

当 $f(x,y,z)\equiv1$ 时，$\iiint_\Omega\mathrm dv$ 等于区域 $\Omega$ 的体积：

设 $\Omega$ 为有界空间区域，$f$ 在其上连续。以下公式要求所用投影与截面可积；切片不是单个区间时，可将区域分块。

直角坐标下 $\mathrm dv=\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz$。化为三次积分时，按“先积几个变量”分成两种做法：先对一个变量积分、再对剩下两个变量积分的叫“先一后二”，反过来叫“先二后一”。选哪种，取决于区域形状和截面面积是否容易求。

把 $\Omega$ 投影到 $xOy$ 平面，得到投影区域 $D_{xy}$。若对 $D_{xy}$ 内每一点 $(x,y)$，$z$ 的变化范围是

则

内层是对 $z$ 的定积分，结果是 $x,y$ 的函数，再对 $D_{xy}$ 做二重积分。同样可以把 $\Omega$ 投影到 $yOz$ 或 $zOx$ 平面，此时内层分别先对 $x$ 或 $y$ 积分。

用平行于某一坐标平面的平面去截 $\Omega$，得到一系列截面。例如用平行于 $xOy$ 平面的平面 $z=z_0$ 截 $\Omega$，得到截面区域 $D(z)$；设 $z$ 的变化范围是 $c_1\le z\le c_2$，则

截面法适合截面面积容易求出的情形：内层是对 $x,y$ 的二重积分，外层只对 $z$ 积分一次。

设 $f$ 在有界空间区域 $\Omega$ 上连续。若区域不能用一组柱面坐标积分限表示，可以将其分块后分别计算。

柱面坐标是极坐标的推广，与直角坐标的关系为

其中 $r\ge0$，$0\le\theta\le2\pi$，$-\infty<z<+\infty$。体积元素为

若 $\Omega$ 在柱面坐标下表示为

则

适用场景：当 $\Omega$ 的侧面是圆柱面、锥面等旋转曲面，或被积函数含 $x^2+y^2$ 时，用柱面坐标通常比直角坐标省事。

设 $f$ 在有界空间区域 $\Omega$ 上连续。以下使用的积分限应覆盖区域一次；不能用一组积分限表示时，可以先分块。

球面坐标与直角坐标的关系为

其中 $r\ge0$ 是点到原点的距离，$0\le\varphi\le\pi$ 是极角（与 $z$ 轴正向的夹角），$0\le\theta\le2\pi$ 是方位角（点在 $xOy$ 平面的投影与 $x$ 轴正向的有向角）。体积元素为

若 $\Omega$ 在球面坐标下表示为

则

上式把代入后的被积函数简记为 $f(\cdot)$，即 $f$ 后面那一串球面坐标表达式；球体等特殊区域也沿用这个简写。

适用场景：当 $\Omega$ 是球体、半球、锥体等，或被积函数含 $x^2+y^2+z^2$ 时，用球面坐标比较简便。

特别地，当 $\Omega$ 是以原点为球心、$R$ 为半径的球体时，