课程笔记

2.5微分与近似

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微分的定义

设函数 $y=f(x)$ 在区间内有定义， $x_0$ 与 $x_0+\Delta x$ 都在该区间内。若函数的增量

\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)

可以写成

\Delta y=A\,\Delta x+o(\Delta x)\qquad(\Delta x\to0),

其中 $A$ 是不依赖于 $\Delta x$ 的常数，则称 $f$ 在点 $x_0$ 处可微，并把线性部分

\mathrm{d}y=A\,\Delta x

称为 $f$ 在 $x_0$ 处相应于自变量增量 $\Delta x$ 的微分。

这里 $o(\Delta x)$ 表示比 $\Delta x$ 高阶的无穷小，即 $\Delta y$ 与 $A\Delta x$ 之差趋于 $0$ 的速度比 $\Delta x$ 更快。所以 $\mathrm{d}y$ 是 $\Delta y$ 的线性主部： $|\Delta x|$ 足够小时， $\Delta y\approx\mathrm{d}y$ 。

规定自变量的微分就是它的增量，

\mathrm{d}x=\Delta x,

由下文可微与可导的充要条件，可微时 $A=f'(x_0)$ ，于是微分通常写成

\mathrm{d}y=f'(x)\,\mathrm{d}x .

来源：微分与线性近似

定义里的 $\Delta y=A\,\Delta x+o(\Delta x)$ 决定了后面所有近似的误差说法：只保留线性项，其余都记作 $o(\Delta x)$ 。

近似计算

充要条件

一元函数 $f$ 在点 $x_0$ 处可微的充要条件是 $f$ 在 $x_0$ 处可导，并且此时

A=f'(x_0),\qquad \mathrm{d}y=f'(x_0)\,\mathrm{d}x .

证明

若 $f$ 在 $x_0$ 处可微，则 $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$ 。两边除以 $\Delta x$ ：

\frac{\Delta y}{\Delta x} =A+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}\to A,

所以 $f'(x_0)$ 存在，且等于 $A$ 。

反过来，若 $f'(x_0)$ 存在，令

\varepsilon=\frac{\Delta y}{\Delta x}-f'(x_0),

则 $\Delta x\to0$ 时 $\varepsilon\to0$ ，且

\Delta y=f'(x_0)\Delta x+\varepsilon\Delta x, \qquad \varepsilon\Delta x=o(\Delta x),

故 $f$ 在 $x_0$ 处可微，且 $A=f'(x_0)$ 。

因此求微分归结为求导数再乘以 $\mathrm{d}x$ 。下面讨论一元函数；多元函数中偏导数存在与可微是两件不同的事。

几何意义

曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,f(x_0))$ 处的切线为

y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).

当自变量从 $x_0$ 变到 $x_0+\Delta x$ 时， $\Delta y$ 是曲线上纵坐标的增量， $\mathrm{d}y=f'(x_0)\Delta x$ 是同一切线上纵坐标的增量。两者之差 $o(\Delta x)$ 就是曲线偏离切线的部分。

所以 $\Delta x$ 很小时可以用切线段代替曲线段，即以直代曲：

f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x .

运算法则

微分法则与导数法则一致。设 $u$ 、 $v$ 可微，则

\mathrm{d}(Cu)=C\,\mathrm{d}u,\qquad \mathrm{d}(u\pm v)=\mathrm{d}u\pm\mathrm{d}v,

\mathrm{d}(uv)=v\,\mathrm{d}u+u\,\mathrm{d}v,\qquad \mathrm{d}\left(\frac{u}{v}\right) =\frac{v\,\mathrm{d}u-u\,\mathrm{d}v}{v^2}\quad(v\ne0).

以乘积为例，由 $\mathrm{d}(uv)=(uv)'\mathrm{d}x$ 得

\mathrm{d}(uv)=(u'v+uv')\mathrm{d}x =v\,(u'\mathrm{d}x)+u\,(v'\mathrm{d}x) =v\,\mathrm{d}u+u\,\mathrm{d}v .

其余法则可以同样验证。更完整的求导公式见基本求导公式与四则运算法则；复合函数的微分要用链式法则。

近似计算

近似公式

当 $|\Delta x|$ 很小时，用 $\mathrm{d}y$ 代替 $\Delta y$ ：

f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x .

令 $x=x_0+\Delta x$ ，也可写成

f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).

这就是用切线代替曲线得到的线性近似。

选基点

取 $x_0$ 使 $f(x_0)$ 与 $f'(x_0)$ 都容易计算，并且 $x$ 离 $x_0$ 足够近。
算增量与微分

令 $\Delta x=x-x_0$ ，计算 $\mathrm{d}y=f'(x_0)\Delta x$ 。
相加并说明精度

得到 $f(x)\approx f(x_0)+\mathrm{d}y$ 。误差是 $o(\Delta x)$ ， $\Delta x$ 越小，近似越可靠。

常用近似公式

取 $x_0=0$ ，当 $|x|$ 很小时：

(1+x)^\alpha\approx1+\alpha x,\qquad \sqrt{1+x}\approx1+\frac12x,\qquad \frac{1}{1+x}\approx1-x,

\sin x\approx x,\qquad \tan x\approx x,\qquad e^x\approx1+x,\qquad \ln(1+x)\approx x .

前三个式子是同一个公式的特例： $\alpha=\dfrac12$ 给出 $\sqrt{1+x}$ ， $\alpha=-1$ 给出 $\dfrac{1}{1+x}$ 。这一组都可以由 $f(x)\approx f(0)+f'(0)x$ 得到，只在 $x\to0$ 时有效。

误差估计

设 $A$ 为准确值， $a$ 为近似值，则

绝对误差： $|A-a|$ ；
相对误差： $\dfrac{|A-a|}{|A|}$ ，实际估计时常用 $\dfrac{|A-a|}{|a|}$ 。

用微分近似时，误差 $\Delta y-\mathrm{d}y=o(\Delta x)$ ，所以 $|\Delta x|$ 足够小时，绝对误差是比 $|\Delta x|$ 高阶的无穷小。实际测量中常把测量误差当作 $\Delta x$ ，用 $\mathrm{d}y=f'(x)\Delta x$ 估计函数值的误差。

来源：微分与线性近似

常用近似公式是 $x_0=0$ 时的特化，做题时先确认题目给的基点，不要默认取 $0$ ；误差估计要分清绝对误差与相对误差所用的分母。

学习安排

教材先给出可微的定义与微分的记号，再给出可微与可导等价的充要条件，然后讲几何意义和运算法则，最后才进入近似计算。这个顺序说明微分是导数之后的应用层：导数给出变化率，微分给出增量的线性主部。

读这一节时先分清线性主部与高阶余项，再记微分的写法，否则容易把 $\mathrm{d}y$ 当成 $\Delta y$ 。运算法则直接沿用2.2的求导法则，不必重新记一套；近似公式则是把一般的线性近似在 $x_0=0$ 处特化。

课程约定

教材用线性主部加高阶余项定义可微，并由此得到 $A=f'(x_0)$ ；本课程要求写清 $A$ 与 $\Delta x$ 无关这一条件。
自变量的微分规定为 $\mathrm{d}x=\Delta x$ ，所以微分的写法中 $\mathrm{d}x$ 就是增量。
近似计算统一选基点 $x_0$ ，再按题目需要代入具体的值。

易错点

$\mathrm{d}y$ 是 $\Delta y$ 的线性主部，不是 $\Delta y$ 本身； $|\Delta x|$ 较大时两者的差不能忽略。
$\mathrm{d}x$ 是整体记号，不能读成 $\mathrm{d}$ 乘 $x$ ；求微分时先求导再乘 $\mathrm{d}x$ 。
可微与可导等价只适用于一元函数；多元函数中偏导数存在与可微并不等价。
$(1+x)^\alpha\approx1+\alpha x$ 、 $\sin x\approx x$ 这些公式只在 $x\to0$ 时有效， $x$ 稍大误差就会明显。
相对误差的分母用准确值 $|A|$ 定义，实际估计时改用近似值 $|a|$ 。

复习要点

做近似计算题时先定 $x_0$ 和 $\Delta x$ ： $x_0$ 要选在函数值与导数都容易算的点， $\Delta x$ 是待求点与 $x_0$ 的差。算完把近似值与真实值比较一次，确认误差量级与 $o(\Delta x)$ 的说法相符。