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课程笔记

3.1微分中值定理

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四个中值定理

设函数 ff 在点 x0x_0 的某个邻域内有定义。若该邻域内恒有 f(x)≤f(x0)f(x)\le f(x_0)，则称 ff 在 x0x_0 处取得极大值；若恒有 f(x)≥f(x0)f(x)\ge f(x_0)，则称取得极小值，两者统称极值。

设 ff 在 x0x_0 处取得极值。若 ff 在 x0x_0 处可导，则

f′(x0)=0.f'(x_0)=0.

几何上，在曲线光滑的前提下，极值点处的切线是水平的。

来源：费马引理

若 ff 满足

  1. 在闭区间 [a,b][a,b] 上连续；
  2. 在开区间 (a,b)(a,b) 内可导；
  3. f(a)=f(b)f(a)=f(b)，

则存在 ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)，使得

f′(ξ)=0.f'(\xi)=0.

几何上，一段连续光滑、两端等高的曲线弧上，至少有一点的切线是水平的。

来源：罗尔定理

若 ff 满足

  1. 在闭区间 [a,b][a,b] 上连续；
  2. 在开区间 (a,b)(a,b) 内可导，

则存在 ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)，使得

f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a),f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a),

或写成

f′(ξ)=f(b)−f(a)b−a.f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.

几何上，连接端点 A(a,f(a))A(a,f(a)) 与 B(b,f(b))B(b,f(b)) 的弦斜率为 f(b)−f(a)b−a\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}；曲线弧 ABAB 上至少存在一点 C(ξ,f(ξ))C(\xi,f(\xi))，该点处的切线平行于这条弦。

令 Δx=b−a\Delta x=b-a，Δy=f(b)−f(a)\Delta y=f(b)-f(a)，拉格朗日公式就写成

Δy=f′(ξ) Δx.\Delta y=f'(\xi)\,\Delta x.

它精确地表达了函数增量与自变量增量的关系，因此也称为有限增量公式。注意它与微分的近似式 Δy≈f′(a)Δx\Delta y\approx f'(a)\Delta x 不同：有限增量公式是等式，只是中值点 ξ\xi 的位置未知。

来源：拉格朗日中值定理

若 ff 与 gg 满足

  1. 在闭区间 [a,b][a,b] 上连续；
  2. 在开区间 (a,b)(a,b) 内可导；
  3. 对任意 x∈(a,b)x\in(a,b)，g′(x)≠0g'(x)\ne0，

则存在 ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)，使得

f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ).\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.

把 xx 看作参数，柯西中值定理就是参数方程 X=g(x)X=g(x)、Y=f(x)Y=f(x) 所表示的曲线上的中值定理：曲线上至少存在一点，其切线斜率等于端点连线的斜率。

来源：柯西中值定理

教材把费马引理也算进这一组，是为了让罗尔定理的证明有落脚点；做题时真正用得最多的是后三条。

条件强弱与选择

条件与结论的强弱

四条结论不是并列的，它们处在同一条推理链上：

费马引理 ⟶ 罗尔定理 ⟶ 拉格朗日中值定理 ⟶ 柯西中值定理.\text{费马引理}\ \longrightarrow\ \text{罗尔定理}\ \longrightarrow\ \text{拉格朗日中值定理}\ \longrightarrow\ \text{柯西中值定理}.
  • 与费马引理相比，罗尔定理要求函数在整个闭区间上连续、在开区间内可导，并多要求端点等高；但结论不再依赖事先知道极值点在哪里。
  • 拉格朗日定理去掉 f(a)=f(b)f(a)=f(b)；罗尔定理是它取 f(a)=f(b)f(a)=f(b) 时的特例。
  • 柯西定理把拉格朗日定理中的自变量 xx 换成 g(x)g(x)，取 g(x)=xg(x)=x（此时 g′(x)=1g'(x)=1）就回到拉格朗日定理。

因此三者通常写成

罗尔定理⊂拉格朗日中值定理⊂柯西中值定理,\text{罗尔定理}\subset\text{拉格朗日中值定理}\subset\text{柯西中值定理},

这里的包含关系指“左边的定理是右边的特例”，并不表示证明的先后。实际证明方向相反：罗尔定理是证明拉格朗日定理与柯西定理的起点，两条推广都靠辅助函数把结论化成 F′(ξ)=0F'(\xi)=0。

怎么选

  1. 出现“端点函数值相等”“方程有重根”“两个零点之间”等条件时，先试罗尔定理。
  2. 只涉及一个函数，要把区间端点值与某点导数联系起来时，用拉格朗日中值定理，常写成有限增量公式。
  3. 出现两个函数之比、两个增量之比，或要证明形如 f(b)−f(a)g(b)−g(a)\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} 的等式时，用柯西中值定理。
  4. 定理只保证中值点存在，不保证唯一；题目要求 ξ\xi 的具体位置时，那是解方程，不是直接引用结论。

常用推论

若 ff 在区间 II 上连续、在 II 内部可导，且 f′≡0f'\equiv0，则 ff 在 II 上为常数。证明是对任意 x1<x2x_1<x_2 在 [x1,x2][x_1,x_2] 上用拉格朗日中值定理：

f(x2)−f(x1)=f′(ξ)(x2−x1)=0.f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1)=0.

由此，若两个函数在区间上导数相等，则它们在该区间上相差一个常数。

做证明题时，本课程要求在引用前把所选定理的条件逐条对上；只写“由中值定理”会被视为跳步。

学习安排

教材按“费马引理 → 罗尔定理 → 拉格朗日中值定理 → 柯西中值定理”的顺序展开，每一条都在上一条的基础上放宽或改写条件：费马引理先处理极值点，罗尔定理把它推广到两端等高的曲线弧，拉格朗日定理取消端点等高的限制，柯西定理再把单个函数换成两个函数。第一遍阅读先记住每条定理多出的条件，再看结论的形式；四个定理的条件、结论和证明分别见上面的知识点。

证明路线与阅读顺序相反。逻辑上从罗尔定理出发，用辅助函数造出满足罗尔条件的新函数，得到拉格朗日定理与柯西定理。做证明题时先想“能否构造辅助函数，把要证的式子化成 F′(ξ)=0F'(\xi)=0”。

课程约定

  • 中值点统一记作 ξ\xi，满足 ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)。口述时读作“K-see”，答题时只写符号，不写读音。
  • 拉格朗日公式在教材里有导数形式与增量形式两种写法，增量形式通常称为有限增量公式。两种写法答题都能用，公式本身见拉格朗日中值定理。
  • 连续性与可导性分区间写：闭区间 [a,b][a,b] 上要求连续，开区间 (a,b)(a,b) 内要求可导，端点不要求可导。
  • 柯西定理只写 g′(x)≠0g'(x)\ne0 这一条附加条件，不单列 g(b)≠g(a)g(b)\ne g(a)：后者由 g′≠0g'\ne0 与罗尔定理推出。

易错点

  • 不要用 f′(x0)=0f'(x_0)=0 反推极值。费马引理里的 y=x3y=x^3 反例说明：导数为零只是极值的必要条件，还要看导数在两侧是否变号。
  • 罗尔定理的三个条件要逐条核对。缺可导性时结论可能不成立，罗尔定理页面用 ∣x∣|x| 在 [−1,1][-1,1] 上的例子说明了这一点。
  • 中值定理只保证 ξ\xi 存在，不保证唯一，也不给出位置；题目要求 ξ\xi 时是解方程，不能把存在性当成答案。
  • 柯西定理不能把两个函数分别用拉格朗日定理再相除：那样得到的两个中值点未必相同，比值也就对不上。

复习要点

判断用哪条定理时，先看端点函数值是否相等，再看向导条件：端点等高用罗尔定理，只涉及一个函数用拉格朗日定理，出现两个函数或其比值用柯西定理。复习时把辅助函数的构造单独练一遍，特别是柯西定理里用 g(x)−g(a)g(x)-g(a) 配平的那种。