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课程笔记

9.2偏导数

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学习安排

本节先给出两个差商极限的定义，再集中列出记号，然后说明“其余变量看作常数”的求法，最后用二阶偏导数和混合偏导数定理收尾。后面的全微分和复合函数求导继续沿用这套写法。

定义与记号

设二元函数 z=f(x,y)z=f(x,y) 在点 (x0,y0)(x_0,y_0) 的某个邻域内有定义。固定 y=y0y=y_0，让 xx 在 x0x_0 处变化。若极限

lim⁡Δx→0f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)Δx\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}

存在，则称它为 ff 在 (x0,y0)(x_0,y_0) 处对 xx 的偏导数。

同样，固定 x=x0x=x_0，若极限

lim⁡Δy→0f(x0,y0+Δy)−f(x0,y0)Δy\lim_{\Delta y\to 0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}

存在，则称它为 ff 在 (x0,y0)(x_0,y_0) 处对 yy 的偏导数。

两个极限都存在时，ff 在 (x0,y0)(x_0,y_0) 处的偏导数存在。若 ff 在区域 DD（连通的开集）内每一点都有对 xx 的偏导数，则这个对应关系构成 DD 上的函数，称为 ff 对 xx 的偏导函数，也简称偏导数。

记号

对 xx 的偏导数有以下等价写法：

fx(x0,y0),∂z∂x∣(x0,y0),∂f∂x∣(x0,y0),zx.f_x(x_0,y_0),\qquad \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(x_0,y_0)},\qquad \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(x_0,y_0)},\qquad z_x.

对 yy 的偏导数把 xx 换成 yy：

fy(x0,y0),∂z∂y∣(x0,y0),∂f∂y∣(x0,y0),zy.f_y(x_0,y_0),\qquad \left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(x_0,y_0)},\qquad \left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(x_0,y_0)},\qquad z_y.

写偏导函数时省略下标中的点，记作 fxf_x、∂z∂x\dfrac{\partial z}{\partial x} 或 zxz_x。

来源：偏导数

定义了偏导数，接下来要能算；下一段把计算归结为一元求导。

一元化求法

求 z=f(x,y)z=f(x,y) 对某个变量的偏导数时，把其余变量看作常数，按一元函数的求导公式计算。

  • 对 xx 求偏导：把 yy 视为常数。
  • 对 yy 求偏导：把 xx 视为常数。

  1. 确认对哪个变量求偏导

    先写明“对 xx”，后面每一步都只对这个变量用求导公式。

  2. 固定其余变量

    把另一个变量当作常数，逐项套一元求导公式。

  3. 代点或整理

    求偏导函数时整理成 x,yx,y 的表达式；求某点的偏导数时代入该点。

来源：偏导数

会求一阶偏导之后，二阶偏导只是再做一次，求导顺序的问题到下一段才出现。

高阶偏导数

若 fxf_x 与 fyf_y 仍是 x,yx,y 的函数，则它们对 xx、yy 的偏导数称为 ff 的二阶偏导数。二元函数共有四个二阶偏导数：

∂2z∂x2=fxx=∂∂x(∂z∂x),∂2z∂y2=fyy=∂∂y(∂z∂y),\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right), \qquad \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right),∂2z∂x∂y=fxy=∂∂y(∂z∂x),∂2z∂y∂x=fyx=∂∂x(∂z∂y).\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right), \qquad \frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}=f_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right).

fxxf_{xx} 与 fyyf_{yy} 称为纯偏导数，fxyf_{xy} 与 fyxf_{yx} 称为混合偏导数。写法上 ∂2z∂x∂y\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} 表示先对 xx 求偏导、再对 yy 求偏导，与 fxyf_{xy} 的顺序一致。

来源：偏导数

高阶偏导的记号最容易写乱；课程约定把 fxyf_{xy} 与 ∂2z∂x∂y\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} 的顺序固定下来。

课程约定

  • ∂z∂x∣(x0,y0)\left.\dfrac{\partial z}{\partial x}\right|_{(x_0,y_0)}、fx(x0,y0)f_x(x_0,y_0) 与 zxz_x 是同义记号。
  • 二阶混合偏导数 ∂2z∂x∂y=fxy\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=f_{xy} 表示先对 xx 后对 yy 求偏导；写 fyxf_{yx} 时顺序相反。

重点

  • 一元化是求偏导的主线：固定其余变量，按一元公式逐项求导。
  • 几何意义：fx(x0,y0)f_x(x_0,y_0) 是曲面被平面 y=y0y=y_0 截出的曲线在 P0P_0 处的切线斜率。
  • 混合偏导数相等要以两个混合偏导数在该点连续为前提；初等函数在定义区域内满足条件，计算时可以按方便的顺序求导。

易错点

  • 偏导数存在推不出连续，不能照搬一元的“可导必连续”。
  • 对 xx 求偏导时 yy 是常数，但含 yy 的项不一定为零，例如 ∂∂x(3xy)=3y\dfrac{\partial}{\partial x}(3xy)=3y。
  • 交换混合偏导数的求导顺序前，先确认两个混合偏导数在该点连续。