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课程笔记

8.4空间直线及其方程

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学习安排

本节按“一般方程 → 对称式 → 参数方程 → 两直线夹角 → 直线与平面夹角 → 求法”的顺序展开。一般方程由两个平面方程联立，两个不平行平面的交线是一条直线；再由两个法向量的叉乘得到方向向量。对称式与参数方程都把同一点和同一方向换成便于使用的写法。

两直线夹角放在线面夹角之前，因为两者都要比较方向向量与法向量的夹角，线面夹角用的是这一步的余角。先把 cos⁡\cos 的公式用熟，再记线面夹角改用 sin⁡\sin。

求直线的步骤教材放在最后：先把一般方程化成对称式或参数方程，再令某个坐标为零解出一点，最后用 n1×n2\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2 确定方向。

直线方程的三种写法

过一点并与一个非零向量平行的点的全体构成一条空间直线，这个非零向量称为直线的方向向量。方向向量只确定到相差一个非零倍数：把方向向量换成它的非零倍数，直线不变。

一般方程

两个不平行平面的交线是一条直线，所以空间直线可以写成

{A1x+B1y+C1z+D1=0,A2x+B2y+C2z+D2=0,\begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0, \end{cases}

其中两平面的法向量 n1=(A1,B1,C1)\mathbf{n}_1=(A_1,B_1,C_1) 与 n2=(A2,B2,C2)\mathbf{n}_2=(A_2,B_2,C_2) 不平行。直线上的点同时在这两个平面上，所以直线的方向向量垂直于 n1\mathbf{n}_1 和 n2\mathbf{n}_2，可以取

s=n1×n2.\mathbf{s}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2.

对称式方程

设直线过点 M0(x0,y0,z0)M_0(x_0,y_0,z_0)，方向向量为 s=(m,n,p)\mathbf{s}=(m,n,p)。点 M(x,y,z)M(x,y,z) 在该直线上，当且仅当 M0M→\overrightarrow{M_0M} 与 s\mathbf{s} 平行，即存在实数 λ\lambda 使 M0M→=λs\overrightarrow{M_0M}=\lambda\mathbf{s}。当 m,n,pm,n,p 都不为零时，把三个分量分别写成比例：

x−x0m=y−y0n=z−z0p.\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}.

这个形式称为对称式方程，也称点向式方程。三项相等，直接从方程就能读出直线经过的点 M0M_0 和方向向量 s\mathbf{s}。

参数方程

令对称式中的比值为 tt，得到参数方程

{x=x0+mt,y=y0+nt,z=z0+pt,t∈R.\begin{cases} x=x_0+mt,\\ y=y_0+nt,\\ z=z_0+pt, \end{cases} \qquad t\in\mathbb{R}.

参数 tt 的每个取值对应直线上的一点，tt 增大时点沿 s\mathbf{s} 的方向移动。求直线与平面的交点时，把参数方程代入平面方程解出 tt，比消元更快。

来源：空间直线及其方程

三种写法只差一个点和一组方向数，转换时不必重新推导，把点与方向向量对上即可。

夹角公式

两直线的夹角

设直线 L1L_1、L2L_2 的方向向量分别为 s1=(m1,n1,p1)\mathbf{s}_1=(m_1,n_1,p_1)、s2=(m2,n2,p2)\mathbf{s}_2=(m_2,n_2,p_2)。把两条直线平移到同一个公共起点后，它们的夹角等于方向向量的夹角或其补角，所以按锐角定义：

cos⁡φ=∣s1⋅s2∣∣s1∣ ∣s2∣=∣m1m2+n1n2+p1p2∣m12+n12+p12m22+n22+p22,φ∈[0,π2].\cos\varphi =\frac{\lvert \mathbf{s}_1\cdot\mathbf{s}_2\rvert}{\lvert \mathbf{s}_1\rvert\,\lvert \mathbf{s}_2\rvert} =\frac{\lvert m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2\rvert} {\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}}, \qquad \varphi\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right].
关系条件
平行（或重合）s1∥s2\mathbf{s}_1\parallel\mathbf{s}_2，即 s1×s2=0\mathbf{s}_1\times\mathbf{s}_2=\mathbf{0}
垂直s1⋅s2=0\mathbf{s}_1\cdot\mathbf{s}_2=0

直线与平面的夹角

设直线 LL 的方向向量为 s\mathbf{s}，平面 Π\Pi 的法向量为 n\mathbf{n}。直线与平面的夹角 ϕ\phi 定义为直线与它在平面上的投影的夹角，取 [0,π2]\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]。n\mathbf{n} 垂直于平面，它与 s\mathbf{s} 的夹角为 π2−ϕ\dfrac{\pi}{2}-\phi（或 π2+ϕ\dfrac{\pi}{2}+\phi），所以

sin⁡ϕ=∣n⋅s∣∣n∣ ∣s∣,ϕ∈[0,π2].\sin\phi=\frac{\lvert \mathbf{n}\cdot\mathbf{s}\rvert}{\lvert \mathbf{n}\rvert\,\lvert \mathbf{s}\rvert}, \qquad \phi\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right].

直线与平面的位置关系按方向向量与法向量的关系判断：

关系条件
直线在平面内n⋅s=0\mathbf{n}\cdot\mathbf{s}=0，且直线上一点在平面上
直线平行于平面n⋅s=0\mathbf{n}\cdot\mathbf{s}=0，且直线上一点不在平面上
直线垂直于平面n∥s\mathbf{n}\parallel\mathbf{s}，即 n×s=0\mathbf{n}\times\mathbf{s}=\mathbf{0}

来源：空间直线及其方程

两个夹角公式到这里就齐了；线面夹角多出的那一步是取余角，课程约定里再把范围固定下来。

课程约定

  • 方向向量记作 s=(m,n,p)\mathbf{s}=(m,n,p)，平面法向量记作 n\mathbf{n}；对称式三个分母依次对应 xx、yy、zz。
  • 教材把 x−x0m=y−y0n=z−z0p\dfrac{x-x_0}{m}=\dfrac{y-y_0}{n}=\dfrac{z-z_0}{p} 称为对称式，并注明它也叫点向式。
  • 夹角一律取锐角：两直线夹角 φ\varphi 与线面夹角 ϕ\phi 都在 [0,π2]\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]，公式分子都带绝对值。
  • 找直线上的点时，教材建议令 x=0x=0 或 z=0z=0，再解剩下的二元一次方程组。

易错点

  • 直线与平面的夹角用 sin⁡\sin，不能沿用两直线夹角的 cos⁡\cos；n\mathbf{n} 与 s\mathbf{s} 的夹角是所求夹角的余角。
  • 求方向向量时写成 n2×n1\mathbf{n}_2\times\mathbf{n}_1 只是改变符号，得到的仍是同一条直线，不要因为分量不同就判定算错。
  • n⋅s=0\mathbf{n}\cdot\mathbf{s}=0 只说明直线平行于平面或落在平面内，必须把直线上一点代入平面方程才能区分。
  • 对称式的分母为零时不能直接约分或求值，要按约定理解为对应的分子为零，即该坐标是常数。