Learning Notes.
返回上级
课程笔记

9.7方向导数与梯度

7 分钟阅读

阅读入口

学习安排

本节沿射线用距离 ρ\rho 定义方向导数，再在可微的前提下把它化成 fxcos⁡α+fycos⁡βf_x\cos\alpha+f_y\cos\beta 的形式，然后把这两个系数抽成梯度。等值线与等值面用来解释梯度为什么垂直于它们、为什么指向函数值增大的方向。

复习时按“定义—公式—梯度”的顺序回看。判断“沿哪个方向增加最快”时直接看梯度方向，不必逐个方向代公式；要比较大小就取梯度的模。下一节讨论极值时，驻点条件就是梯度为零，两节的记号到那里合流。

方向导数的定义

本页讨论二元函数 z=f(x,y)z=f(x,y)，设它在点 P0(x0,y0)P_0(x_0,y_0) 的某个邻域内有定义。自 P0P_0 引一条射线 ll，设 ll 与 xx 轴正向、yy 轴正向的夹角分别为 α\alpha、β\beta。射线上的点

P(x0+Δx, y0+Δy)P(x_0+\Delta x,\ y_0+\Delta y)

到 P0P_0 的距离记作

ρ=(Δx)2+(Δy)2.\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}.

因为 PP 在射线 ll 上，增量必须取

Δx=ρcos⁡α,Δy=ρcos⁡β\Delta x=\rho\cos\alpha,\qquad \Delta y=\rho\cos\beta

的形式，而不能是任意趋于零的一对增量。cos⁡α\cos\alpha、cos⁡β\cos\beta 称为方向 ll 的方向余弦，满足

cos⁡2α+cos⁡2β=1.\cos^2\alpha+\cos^2\beta=1.

本页用到可微性。若

Δz=fx(x0,y0)Δx+fy(x0,y0)Δy+o(ρ)(ρ→0),\Delta z=f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y+o(\rho) \qquad(\rho\to0),

则称 ff 在 P0P_0 处可微；可微的定义与判定见全微分，偏导数的记号见偏导数。三元函数的情形在相应位置单独说明。

若极限

lim⁡ρ→0+f(x0+ρcos⁡α, y0+ρcos⁡β)−f(x0,y0)ρ\lim_{\rho\to0^+} \frac{f(x_0+\rho\cos\alpha,\ y_0+\rho\cos\beta)-f(x_0,y_0)}{\rho}

存在，则称它为 ff 在点 P0P_0 沿射线 ll 方向的方向导数，记作

∂f∂l∣P0.\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{P_0}.

这个极限是单侧的：PP 只能沿射线从 P0P_0 向外移动，ρ>0\rho>0 且 ρ→0+\rho\to0^+。因此方向导数依赖射线的指向，沿相反射线求出的结果一般与原值不同。

取 ll 为 xx 轴正向，此时 α=0\alpha=0、β=π/2\beta=\pi/2，差商是

f(x0+ρ,y0)−f(x0,y0)ρ,\frac{f(x_0+\rho,y_0)-f(x_0,y_0)}{\rho},

极限为 fx(x0,y0)f_x(x_0,y_0)。同理，取 yy 轴正向得到 fy(x0,y0)f_y(x_0,y_0)。若相应偏导数存在，它等于沿该坐标轴正方向的方向导数；反过来仅有单侧方向导数不能保证双侧偏导数存在。

来源：方向导数

定义里的极限在具体函数上不好算，下一段给出可微时的计算公式。

方向导数的计算

若 ff 在点 P0P_0 可微，则 ff 在 P0P_0 沿任一方向 ll 的方向导数都存在，且

∂f∂l∣P0=fx(x0,y0)cos⁡α+fy(x0,y0)cos⁡β.\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{P_0} =f_x(x_0,y_0)\cos\alpha+f_y(x_0,y_0)\cos\beta .
证明

由可微性，把 Δx=ρcos⁡α\Delta x=\rho\cos\alpha、Δy=ρcos⁡β\Delta y=\rho\cos\beta 代入全增量：

Δz=fx(x0,y0) ρcos⁡α+fy(x0,y0) ρcos⁡β+o(ρ).\Delta z=f_x(x_0,y_0)\,\rho\cos\alpha +f_y(x_0,y_0)\,\rho\cos\beta+o(\rho).

两边除以 ρ>0\rho>0，得

Δzρ=fx(x0,y0)cos⁡α+fy(x0,y0)cos⁡β+o(ρ)ρ.\frac{\Delta z}{\rho} =f_x(x_0,y_0)\cos\alpha+f_y(x_0,y_0)\cos\beta +\frac{o(\rho)}{\rho}.

令 ρ→0\rho\to0，最后一项趋于 00，即得所述公式。

对三元函数 u=f(x,y,z)u=f(x,y,z)，若 ff 在 P0(x0,y0,z0)P_0(x_0,y_0,z_0) 可微，方向 ll 的方向余弦为 (cos⁡α,cos⁡β,cos⁡γ)(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)，则

∂f∂l∣P0=fxcos⁡α+fycos⁡β+fzcos⁡γ,\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{P_0} =f_x\cos\alpha+f_y\cos\beta+f_z\cos\gamma,

其中三个偏导数都在 P0P_0 取值。方向余弦仍满足

cos⁡2α+cos⁡2β+cos⁡2γ=1.\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1.

来源：方向导数

公式右端是两个偏导数的线性组合，把系数抽出来就是下一段的梯度。

梯度

设 ff 在平面区域 DD 内具有一阶连续偏导数。对每一点 P(x,y)∈DP(x,y)\in D，把该点的两个偏导数排成一个向量

grad f(x,y)=∇f(x,y)=fx(x,y) i+fy(x,y) j,\mathbf{grad}\,f(x,y)=\nabla f(x,y) =f_x(x,y)\,\mathbf i+f_y(x,y)\,\mathbf j,

称它为 ff 在点 PP 的梯度。三元函数 u=f(x,y,z)u=f(x,y,z) 的梯度为

grad f=∇f=fx i+fy j+fz k.\mathbf{grad}\,f=\nabla f =f_x\,\mathbf i+f_y\,\mathbf j+f_z\,\mathbf k .

记号 ∇\nabla 读作Nabla，称为向量微分算子，也叫哈密顿算子：

∇=∂∂xi+∂∂yj+∂∂zk.\nabla=\frac{\partial}{\partial x}\mathbf i +\frac{\partial}{\partial y}\mathbf j +\frac{\partial}{\partial z}\mathbf k .

它是一个运算符号，作用在标量函数 ff 上直接得到 ff 的梯度。

梯度是向量，其模为

∣∇f∣=fx2+fy2,|\nabla f|=\sqrt{f_x^2+f_y^2},

三元时根号内再加 fz2f_z^2。梯度为零向量等价于两个（或三个）一阶偏导数同时为零。

来源：梯度

方向导数与梯度的定义到这里都齐了；课程约定把 ∇\nabla 与方向余弦的写法收在一起。

课程约定

  • 教材用 α\alpha、β\beta 表示射线与 xx、yy 轴正向的夹角，三元时再加 γ\gamma，并称相应的余弦为方向余弦。
  • 方向导数记作 ∂f∂l∣P0\left.\dfrac{\partial f}{\partial l}\right|_{P_0}；梯度记作 grad f\mathbf{grad}\,f 或 ∇f\nabla f，教材把 ∇\nabla 称为向量微分算子，也叫Nabla算子。
  • 方向导数的计算公式要求函数在该点可微。

易错点

  • 方向导数沿射线定义，方向余弦取的是射线指向。沿相反射线再求一次，结果一般与原来的值不同。
  • 把方向余弦写成两点连线向量的分量，忘记除以长度。公式要求的是单位方向。
  • 只验证偏导数存在就套 fxcos⁡α+fycos⁡βf_x\cos\alpha+f_y\cos\beta。这个公式需要可微，偏导数存在并不够。
  • 梯度是向量，方向导数是数。问“最大方向导数”时答案应是 ∣∇f∣|\nabla f|，不是 ∇f\nabla f。

复习要点

复习时先写出单位方向，再代公式；遇到“最速上升”“最速下降”的问题，先算梯度再回答方向，最后补充大小。等值线的法向量有两个方向，回答时要说明梯度指向函数值增大的一侧。