4.4有理函数的积分

由两个多项式之比给出的函数

称为有理函数，其中 $P(x)$、$Q(x)$ 是实系数多项式，$Q(x)$ 不恒为零。$R$ 的定义域是使 $Q(x)\ne 0$ 的一切 $x$。

按分子与分母的次数分为两类：

• 真分式：$\deg P<\deg Q$，分子的次数严格小于分母的次数；
• 假分式：$\deg P\ge\deg Q$，分子的次数大于或等于分母的次数。

有理函数在定义区间内连续，它的原函数总能由三类函数拼成：多项式、对数函数与反正切函数。求有理函数积分的全部工作，就是把 $R$ 化成这三类函数的组合，再逐项积分。

求解有理函数积分有固定的流程，三步按顺序做，不要跳步。

分母中的每个因式都要按它的幂次展开成若干项：

重因式必须从一次幂一直写到 $k$ 次幂，一项都不能少。二次因式的分子要写成一次式 $Bx+C$，不能只写常数。

把拆分式通分、去掉分母，得到一个关于 $x$ 的恒等式，再确定其中的系数。常用三种做法：

1. 比较系数法：按 $x$ 的同次幂系数相等列出方程组。
2. 取值法：代入分母的实根，使含其他因式的项为零，直接解出对应系数。
3. 混合法：先用取值法求出容易确定的系数，再用比较系数法解剩下的。

拆分完成后，每一项都是下面几种形式之一。

$\int S(x)\,\mathrm{d}x$ 逐项使用幂函数积分公式。

$k=1$ 时，

$k>1$ 时用凑微分，

对 $\dfrac{Ax+B}{x^2+px+q}$，先配方：令 $b=\dfrac{p}{2}$，$c^2=q-b^2>0$，$u=x+b$，则分母为 $u^2+c^2$。再把分子拆成与分母导数成比例的部分和常数部分：

于是

第一项来自 $\dfrac{2u\,\mathrm{d}u}{u^2+c^2}=\mathrm{d}\ln(u^2+c^2)$，第二项来自 $\int\dfrac{\mathrm{d}u}{u^2+c^2}=\dfrac{1}{c}\arctan\dfrac{u}{c}$。

$m\ge 2$ 时仍按同样的方式拆分子：

• 微分项化为 $\int\dfrac{\mathrm{d}w}{w^m}$（$w=u^2+c^2$），用幂函数公式即可；
• 常数项化为 $\int\dfrac{\mathrm{d}u}{(u^2+c^2)^m}$，用三角代换 $u=c\tan t$ 或递推公式求解。