全方差公式 · Learning Notes

公式

D(X)=E[D(X\mid Y)]+D[E(X\mid Y)].

其中 $D(X\mid Y)=E(X^2\mid Y)-[E(X\mid Y)]^2$ 是给定 $Y$ 时的条件方差（条件期望与条件分布的写法见条件期望和条件分布）。全方差公式把总波动拆成两部分：各情形内部的平均波动 $E[D(X\mid Y)]$ ，以及各情形平均水平之间的波动 $D[E(X\mid Y)]$ 。

证明

由条件期望的性质， $E(X^2)=E[E(X^2\mid Y)]$ ，而

E(X^2\mid Y)=D(X\mid Y)+[E(X\mid Y)]^2.

于是

\begin{aligned} D(X) &=E(X^2)-[E(X)]^2\\ &=E[D(X\mid Y)]+E\bigl([E(X\mid Y)]^2\bigr)-\bigl(E[E(X\mid Y)]\bigr)^2\\ &=E[D(X\mid Y)]+D[E(X\mid Y)]. \end{aligned}

例子

混合分布的总方差

某零件由两台设备加工， $60\%$ 来自甲设备， $40\%$ 来自乙设备。甲设备加工的长度均值为 $10$ ，方差为 $0.04$ ；乙设备均值为 $12$ ，方差为 $0.09$ 。记长度为 $X$ ，来源设备为 $Y$ 。

组内平均波动为

E[D(X\mid Y)]=0.6\times0.04+0.4\times0.09=0.06.

条件均值为 $E(X\mid Y=\text{甲})=10$ 、 $E(X\mid Y=\text{乙})=12$ ，其方差为

D[E(X\mid Y)] =0.6\times(10-10.8)^2+0.4\times(12-10.8)^2 =0.384+0.576=0.96.

由全方差公式，

D(X)=0.06+0.96=1.02.

若只把两个条件方差加权平均，会得到 $0.06$ ，漏掉了两台设备均值相差 $2$ 所带来的波动。

交互探索

调整两组的比例和组内成功率，比较各组内部的平均波动与组间平均水平差异带来的波动。两部分相加为总方差。

总方差中的组内与组间部分各占多少？

调整两组的比例和成功率，将二元变量的总方差拆成两部分。

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题集

练习

已知 $E[D(X\mid Y)]=2$ ， $D[E(X\mid Y)]=3$ ，则 $D(X)=$ 。
参考解答
由全方差公式， $D(X)=E[D(X\mid Y)]+D[E(X\mid Y)]=2+3=5$ 。