方差

设 $X$ 满足 $E(X^2)<+\infty$，记 $\mu=E(X)$。称

为 $X$ 的方差，也记作 $\operatorname{Var}(X)$；称 $\sqrt{D(X)}$ 为标准差，它与 $X$ 取相同的单位。方差是平方的量，标准差才与原始数据同量纲，比较波动时常用标准差。

方差常用下面的公式计算：

平移不改变波动，乘以 $a$ 则把偏差放大 $|a|$ 倍，方差相应放大 $a^2$ 倍。

协方差的定义与性质见协方差。若 $X$ 与 $Y$ 不相关，即 $\operatorname{Cov}(X,Y)=0$（独立是充分条件），则

对有限线性组合，

若各变量两两不相关，所有协方差项为零，方差只剩 $\sum_i a_i^2D(X_i)$。

设 $X_1,\ldots,X_n$ 独立同分布，$E(X_i)=\mu$，$D(X_i)=\sigma^2$。独立性使各协方差为零，于是

样本均值 $\bar X=\frac1n\sum_iX_i$ 满足

最后一条由 $D(\bar X)=\frac{1}{n^2}D\left(\sum_iX_i\right)=\frac{n\sigma^2}{n^2}$ 得到。平均值的标准差为 $\sigma/\sqrt n$：若希望它减半，样本量要增为原来的四倍。

方差非负，且

当且仅当 $X=E(X)$ 几乎必然成立。也就是说，方差为零的随机变量几乎必然是常数；这一点在讨论相关系数的分母时要用到。

比较对称两点分布的中心位置与偏离距离对方差的影响。