指示变量

对事件 $A$ ，定义指示变量

I_A=\begin{cases}1,&A\text{ 发生},\\0,&A\text{ 不发生},\end{cases}

则

E(I_A)=1\times P(A)+0\times P(\bar A)=P(A).

指示变量的期望就是事件的概率。若随机变量 $N$ 计数若干事件发生的个数，把它写成 $N=\sum_i I_{A_i}$ ，由期望的线性性质便有

E(N)=\sum_iE(I_{A_i})=\sum_iP(A_i).

这个做法通常比求出 $N$ 的完整分布更简单，而且不要求各事件独立：线性性质不需要独立性， $P(A_i)$ 也只要逐个求出即可。

帽子问题

$n$ 个人随机取回各自寄存的帽子，一人一顶。令 $I_i$ 表示第 $i$ 人是否取到自己的帽子，则 $I_i$ 是 $A_i=\{\text{第 }i\text{ 人取到自己的帽子}\}$ 的指示变量。

由对称性，第 $i$ 个人取到自己帽子的概率为 $\frac1n$ ，故 $P(A_i)=\frac1n$ 。取对人数 $N=\sum_{i=1}^nI_i$ 的期望为

E(N)=\sum_{i=1}^n\frac1n=n\times\frac1n=1.

无论人数多少，平均恰有一个人取到自己的帽子。注意取对人数并非常数， $N$ 仍可能取 $0$ 、 $2$ 等其他值；而 $A_i$ 之间并不独立。

定义