相关系数

当 $D(X)>0$、$D(Y)>0$ 时，定义

由柯西—施瓦茨不等式，

所以

$|\rho|$ 越接近 $1$，线性关联越强；越接近 $0$，线性关联越弱。$\rho=0$ 只说明不相关，不能据此排除曲线形式的关系。$|\rho|=1$ 当且仅当存在 $a\ne0$ 与 $b$，使

即两个变量以概率一落在一条非水平直线上；$a$ 的符号决定 $\rho$ 的符号。理由是不等式取等号时判别式为零，存在 $t_0$ 使 $D(X+t_0Y)=0$，于是 $X+t_0Y$ 几乎必然是常数，移项即得线性关系；反过来把 $Y=aX+b$ 代入相关系数的定义，也能直接算出 $|\rho|=1$。

相关系数对平移和正数倍缩放不变，对负数倍缩放改变符号：

其中 $\operatorname{sgn}$ 是符号函数，取值为 $1$、$-1$ 或 $0$。

若某个变量的方差为零，分母为零，相关系数没有定义，不能说它等于零。

相关系数只衡量线性关联的强弱。它不能说明因果关系，也不保证线性模型合适：两个变量可能同时受第三个变量影响，也可能存在明显的曲线关系而相关系数接近零。

若两个零一变量的边缘概率均为 $1/2$，且 $P(X=1,Y=1)=0.4$，则协方差为 $0.4-0.25=0.15$，两个方差均为 $0.25$，所以相关系数为 $0.15/0.25=0.6$。

观察相关系数为零时仍可能存在确定的非线性关系。