矩 · Learning Notes

矩把期望、方差以及偏斜、峰度统一成同一类数字特征。本页沿用 $D(X)$ 表示方差、 $\operatorname{Cov}(X,Y)$ 表示协方差，并默认所涉及的绝对矩都存在，以保证相应期望有限。

定义

当 $E(|X|^k)<+\infty$ 时，称

\mu_k'=E(X^k)

为 $X$ 的 $k$ 阶原点矩，称

\mu_k=E\bigl[(X-E(X))^k\bigr]

为 $X$ 的 $k$ 阶中心矩。一阶、二阶矩是最常用的：

\mu_1'=E(X),\qquad \mu_1=0,\qquad \mu_2=D(X).

由二项式展开，中心矩可以用原点矩换算。常用的两条是

\mu_2=\mu_2'-(\mu_1')^2,

\mu_3=\mu_3'-3\mu_1'\mu_2'+2(\mu_1')^3.

证明

记 $\mu=\mu_1'$ 。由期望的线性性质，

E\bigl[(X-\mu)^2\bigr]=E(X^2)-2\mu E(X)+\mu^2=\mu_2'-(\mu_1')^2,

\begin{aligned} E\bigl[(X-\mu)^3\bigr] &=E(X^3)-3\mu E(X^2)+3\mu^2E(X)-\mu^3\\ &=\mu_3'-3\mu_1'\mu_2'+3(\mu_1')^3-(\mu_1')^3 =\mu_3'-3\mu_1'\mu_2'+2(\mu_1')^3. \end{aligned}

三阶中心矩反映分布偏斜的方向。当 $\sigma>0$ 时，把它标准化，得到偏度

\gamma_1=\frac{\mu_3}{\sigma^3},

其中 $\sigma=\sqrt{D(X)}$ 。四阶中心矩用于衡量尾部的厚重程度，常用的指标是超额峰度

\gamma_2=\frac{\mu_4}{\sigma^4}-3.

正态分布的超额峰度为 $0$ 。若把 $\mu_4/\sigma^4$ 定义为峰度，则正态分布的峰度为 $3$ ；使用前要先看清采用哪一种定义。

对二维随机变量 $(X,Y)$ ，称 $E(X^kY^l)$ 为 $k+l$ 阶混合原点矩，称

E\bigl[(X-E(X))^k(Y-E(Y))^l\bigr]

为 $k+l$ 阶混合中心矩。取 $k=l=1$ ，混合中心矩就是协方差

\operatorname{Cov}(X,Y)=E\bigl[(X-E(X))(Y-E(Y))\bigr].

计算混合矩必须使用联合分布，对联合分布律求和或对联合密度积分。只有 $X$ 与 $Y$ 独立时才能把 $E(X^kY^l)$ 拆成 $E(X^k)E(Y^l)$ ；缺少独立性时不能拆开。

对称三点分布的矩

设 $X$ 以等概率取 $-1$ 、 $0$ 、 $1$ 。则 $E(X)=0$ ，且

E(X^2)=\frac{1+0+1}{3}=\frac23,\qquad E(X^3)=\frac{-1+0+1}{3}=0,\qquad E(X^4)=\frac{1+0+1}{3}=\frac23.

中心矩与原点矩相同： $\mu_2=\dfrac23$ ， $\mu_3=0$ ，所以偏度 $\gamma_1=0$ ，分布左右对称。超额峰度为

\gamma_2=\frac{\mu_4}{\sigma^4}-3=\frac{2/3}{4/9}-3=\frac32-3=-\frac32.

负的超额峰度说明这个分布的尾部比正态分布轻，取值被限制在三个点上。

边缘相同，混合矩不同

设 $X$ 、 $Y$ 都等概率取 $-1$ 、 $1$ ，两个边缘分布相同。若 $X$ 与 $Y$ 独立，四个组合各占 $\dfrac14$ ，则

E(XY)=\frac14(1-1-1+1)=0.

若让联合分布只落在对角线上，即 $P\{X=Y=1\}=P\{X=Y=-1\}=\dfrac12$ ，边缘分布仍然是各取 $\pm1$ 的概率为 $\dfrac12$ ，但此时

E(XY)=\frac12(1)+\frac12(1)=1.

两个联合分布的边缘完全相同，混合矩却不同，说明 $E(XY)$ 由联合分布决定，不能只从两个边缘分布推出。

改变两点分布的概率，比较原点矩与中心矩。

改变两点分布的权重，比较原点矩和三阶中心矩。

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题集

已知 $E(X)=2$ ， $E(X^2)=5$ ，则 $D(X)=$ 。
参考解答
$D(X)=\mu_2=E(X^2)-[E(X)]^2=5-4=1$ 。
已知 $\mu_1'=2$ ， $\mu_2'=10$ ，则二阶中心矩 $\mu_2=$ 。
参考解答
由 $\mu_2=\mu_2'-(\mu_1')^2=10-2^2=6$ 。
设 $X$ 与 $Y$ 相互独立， $E(X^2)=5$ ， $E(Y)=3$ ，则 $E(X^2Y)=$ 。
参考解答
独立时 $E(X^2Y)=E(X^2)E(Y)=5\times3=15$ 。若两者不独立，这个拆分不成立，必须回到联合分布计算。
正态分布的超额峰度 $\gamma_2=\mu_4/\sigma^4-3$ 等于。
参考解答
正态分布的 $\mu_4/\sigma^4=3$ ，减去 $3$ 后超额峰度为 $0$ 。若采用不减去 $3$ 的峰度定义，则数值是 $3$ ，两者不能混用。